유리 동역학 시스템과 재발 정리

논문은 먼저 기존 위상 동역학 시스템 (X,T) 에서 T가 자연수 인덱스를 갖는 점을 넘어, 유리수 전체 ℚ 를 인덱스로 하는 시스템을 정의한다. 이를 위해 Budak‑İşık‑Pym의 결과를 활용해 모든 유리수를 유한한 ‘단어’ 형태로 고유하게 표현한다. 구체적으로 q∈ℚ는 양의 정수와 음의 정수 부분을 각각 factorial 분모와 교호 부호를 갖는 합으로 나타낼 수 있다. 이러한 표현을 기반으로, ℤ*에 정의된 서로 교환하는 연속 사상 {T_n}ₙ∈ℤ* 로부터 T_q = T_{t_1}^{q_{t_1}}⋯T_{t_l}^{q_{t_l}} (q의 표현에 등장하는 t_i와 q_{t_i} 사용) 를 정의한다. 이렇게 얻은 (X,T_q)_{q∈ℚ} 를 ‘단순 유리 동역학 시스템’이라 부른다. 핵심 도구는 저자와 Farmaki가 증명한 유리수에 대한 분할 정리(Theorem 1.1)이다. 이는 ℚ 를 r개의 색으로 색칠했을 때, 특정 이차 격자 형태 α+ pβ+ qγ (p,q∈