단조 카테고리 작용에 의한 카테고리 몫의 2‑범주적 구성

본 논문은 대칭적 단조 카테고리 M이 카테고리 C에 작용할 때, 그 작용의 결과를 2‑범주 C/M이라는 형태로 정형화하는 과정을 상세히 전개한다. 서론에서는 “생성자와 관계”를 이용한 자유 2‑범주의 존재와 유일성을 먼저 증명함으로써, 이후 전개될 몫 구조의 기반을 마련한다. 1. **Pre‑2‑Category와 자유 구조** - 정의 1에서 ‘strict n‑category’와 ‘pre‑n‑category’를 구분한다. pre‑2‑category는 0‑객체, 1‑사상, 2‑사상을 갖지만, 결합법칙과 코히런스 조건을 강제하지 않는다. 이는 자유 구조를 만들 때 불필요한 제약을 피하기 위함이다. - Lemma 2.2는 1‑그레이드 집합 X에 대해 자유 pre‑1‑category C X를, 그리고 추가적인 2‑그레이드 집합 X₂와 사상 s₁, t₁을 이용해 자유 pre‑2‑category F X를 구성한다. 구체적인 구성은 문자열 Sₙ을 재귀적으로 정의하고, ‘점곱’ · 연산을 통해 ∗₀와 ∗₁ 합성을 만든다. - Corollary 2.3은 이 자유 구조가 ‘그레이드 집합 → pre‑2‑category’ 사이의 왼쪽 사상(adjoint)임을 보이며, 이는 자유 모노이드·자유 군의 범주론적 일반화라 할 수 있다. 2. **관계와 몫의 형성** - 정의 3에서 ‘조건 C’를 이진 관계 C ⊂ F X × F X 로 설정한다. Lemma 2.4는 이 관계를 만족하는 가장 미세한 동치 관계 ∼ 을 Zorn의 보조정리를 통해 존재함을 보인다. ∼ 은 (P0)~(P3) 조건을 만족하며, 특히 C에 포함된 모든 쌍을 동일시한다. - Theorem 2.5는 자유 pre‑2‑category F X를 ∼ 으로 나눈 몫 F X/∼ 이 ‘보편적 성질’을 갖는다고 선언한다. 즉, 어떤 2‑범주 D와 관계를 보존하는 사상 F: F X → D가 주어지면, 유일하게 F X/∼ 을 통해 인자화된다. 이는 전통적인 프리‑프레젠테이션 이론에서 ‘제시된 관계에 대한 자유적 해석’과 동일한 의미이다. 3. **몫 C/M의 정의와 성질** - 섹션 3에서는 실제 몫 C/M을 정의한다. M의 각 객체 m은 C의 객체 x에 대해 새로운 1‑사상 ζ_{m,x}: x → m·x 을 제공한다. M의 사상은 2‑사상으로 승격되며, 이때 ζ가 C와 M의 구조와 ‘호모토피 수준’에서 일관되게 작동하도록 조건 Q4–Q6을 도입한다. - 중요한 점은, 전통적인 동치식(identifications)을 강제로 하는 대신, 그 동치식들을 2‑사상으로 기록함으로써 더 풍부한 정보를 보존한다는 것이다. 따라서 C/M은 단순히 동치류를 취한 것이 아니라, M의 작용에 대한 ‘추적(trace)’을 포함하는 2‑범주가 된다. - 존재와 유일성은 앞서 구축한 자유 프레젠테이션과 보편적 성질을 이용해 증명한다. 구체적으로, C와 M의 데이터를 합친 생성자 집합 X에 대해, 위에서 만든 F X/C가 바로 원하는 몫 C/M에 해당한다. 4. **기술적·이론적 의의** - 모든 작은 2‑범주가 생성자·관계 프레젠테이션을 가짐을 명시적으로 증명함으로써, 2‑범주의 ‘프리’ 이론을 체계화하였다. 이는 고차원 범주론에서 ‘presentations of higher categories’를 다루는 기존 문헌(예: