준동형 카테고리와 상대 범주 사이의 톰슨식 퀼레 동등성

본 논문은 현대 동형 위상수학과 고차 범주론에서 핵심적인 두 모델, 즉 Joyal 구조를 갖는 단순 집합(S, 즉 준동형 카테고리)과 상대 범주(RelCat) 사이에 퀼레 동등성을 구축한다. 저자들은 먼저 Joyal‑Tierney가 제시한 “S ←→ sS” 퀼레 동등성과 Barwick‑Kan이 만든 “sS ←→ RelCat” 퀼레 동등성을 인용한다. 이 두 동등성을 차례로 합성하면 “S ←→ RelCat”이라는 새로운 퀼레 쌍이 형성되는데, 이때 나타나는 좌·우 adjoint functor 가 Thomason이 1980년에 제시한 “S ←→ Cat” 퀼레 동등성과 거의 동일한 형태를 띤다. 이를 구체화하기 위해 저자들은 상대 순서집합(relative poset) \(\check{n}\)과 \(\hat{n}\)을 정의한다. \(\check{n}\)은 기본적인 체인 0→1→…→n을 갖고, 약한 동등성은 항등 사상만 허용한다. 반면 \(\hat{n}\)은 동일한 체인을 갖지만, 모든 사상을 약한 동등성으로 간주한다. 이러한 두 종류의 상대 순서집합은 이후 두‑단계 세분화 과정을 통해 복잡한 상대 범주 구조로 확장된다. 두‑단계 세분화는 먼저 초기 세분화 \(\xi_i\)를 적용하고, 그 뒤에 종단 세분화 \(\xi_t\)를 적용하여 \(\xi = \xi_t \xi_i\)를 만든다. 구체적으로, \(\xi_i P\)는 P 안의 모든 모노모픽 \(\check{n} \to P\) (n≥0)를 객체로 삼고, 사상은 두 모노모픽 사이의 교환 사각형으로 정의한다. 약한 동등성은 교환 사각형의 최종점(또는 초기점) 사상이 P 안에서 약한 동등성을 만족하는 경우에만 부여된다. 이후 \(\xi_t\)를 적용해 초기 세분화의 결과에 다시 같은 방식을 적용함으로써 최종적인 상대 순서집합 \(\xi P\)를 얻는다. 핵심 정리는 두 개의 adjoint 쌍이다. 1. **준동형 카테고리 ↔ 상대 범주**: 좌측 좌함수 \(L\)는 Δ