Kasparov 곱과 Paschke‑Higson 이중성의 새로운 연결

본 논문은 Paschke‑Higson 이중성을 기반으로 정의되는 $K_i(A)\times K_{i+1}(D_{\Phi})\to\mathbb Z\;(i=0,1)$ 인덱스 쌍을 Kasparov 곱의 특수 경우로 식별하고, 이를 활용해 $C_1$와 $S$가 $KK$‑동형임을 증명한다. 1. **서론**에서는 Higson이 제시한 K‑이론과 확장군 사이의 연결을 언급하고, 이를 Kasparov의 $KK$‑이론과 연결시키는 목표를 제시한다. Bott 주기성 $KK(A,B)\cong KK(SA,SB)$ 를 이용해 Kasparov 곱을 통한 증명을 시도한다. 2. **Paschke‑Higson 이중성 및 인덱스 쌍** - $H$는 가산 무한 차원의 힐베르트 공간, $B(H)$와 $K(H)$는 각각 전산 연산자와 콤팩트 연산자, $Q(H)=B(H)/K(H)$는 Calkin 대수이다. - 정의 2.1에서 ‘admissible’ 표상 $\Phi:A\to B(H)$는 비퇴화이며 $\dot\Phi$가 영핵을 갖지 않는다. 이는 $\Phi$가 faithful하고 이미지에 콤팩트 연산자가 없음을 의미한다. - 정의 2.3에서 본질적 교환자 $D_{\Phi}(A)=\{T\in B(H)\mid