VC 클래스의 균일 근사와 브래킷 수 제한

본 논문은 VC 차원이 유한한 집합류가 임의의 확률 측도 아래에서 어떻게 균일하게 근사될 수 있는지를 체계적으로 탐구한다. 서론에서는 X를 완비 가산 거리공간, S를 그에 대한 Borel σ‑대수라 정의하고, 𝒞⊆S가 VC 클래스임을 정의한다. VC 차원 k는 모든 크기 k의 유한 집합 D에 대해 {C∩D:C∈𝒞}의 원소 수가 2^k 미만임을 의미한다. 주요 결과인 정리 1은 임의의 ε>0에 대해, 모든 C∈𝒞에 대해 μ(∂(C:π))<ε가 되는 유한 가측 파티션 π가 존재함을 보인다. 여기서 ∂(C:π)는 π의 셀 중 C와 Cᶜ 모두와 양의 확률로 교차하는 셀들의 합이며, 이는 C를 파티션 셀들로 거의 완벽히 구분할 수 있음을 의미한다. 정리 1의 증명은 여러 단계로 구성된다. 먼저 𝒞를 가산 부분집합 𝒞₀로 제한하고, 원자(atomic) 부분을 제거해 μ가 비원자임을 가정한다. 측도 보존 동형성을 이용해 (X,μ)와 (