다중 시프트 드뷔인 순열: 존재·계수·생성 알고리즘 및 자유모노이드 적용

본 논문은 전통적인 드뷔인 순열을 일반화한 “다중‑시프트 드뷔인 순열”(multi‑shift de Bruijn sequence)을 제안한다. 정의에 따르면, 알파벳 Σ 위의 문자열 τ(m,n) 은 길이 n인 모든 단어가 인덱스 im+1 (i≥0)에서 정확히 한 번씩 등장하도록 구성된다. 이는 m=1일 때 기존 드뷔인 순열과 동일하며, m>1일 경우 ‘시프트 간격’이 m인 새로운 제약을 갖는다. **존재성** 저자는 먼저 단어 그래프 G(m,n) 을 정의한다. 정점 집합 V=Σⁿ, 간선 집합 A=Σⁿ⁺ᵐ이며, 간선 (u→v) 는 u의 뒤쪽 m 문자를 버리고 새로운 m 문자를 붙여 v를 만든다. 이 그래프는 모든 정점에 대해 입·출 차수가 동일하고, 특히 모든 정점이 0^{n‑m}와 연결되므로 강연결성을 가진다. 따라서 오일러 투어가 존재한다는 사실을 이용해, G(m,n‑m) 에 대한 오일러 투어 ↔ m‑시프트 드뷔인 순열 사이에 1‑대‑l( l=|Σ|ⁿ) 매핑이 존재함을 보인다. 이를 통해 모든 양의 정수 m, n에 대해 다중‑시프트 드뷔인 순열이 존재함을 증명한다. **계수** 다중‑시프트 드뷔인 순열의 총 개수 #(m,n) 은 두 경우로 나뉜다. 1. **1 ≤ n ≤ m**: 이 경우 순열은 Σⁿ의 모든 단어를 임의 순열 u₁,…,u_l (l= aⁿ) 로 배열하고, 각 사이에 0^{m‑n}을 삽입한 형태가 전부이다. 따라서 가능한 순열 수는 l! = (aⁿ)!이며, 각 사이에 삽입되는 0‑패딩은 (a^{m‑n})^{l‑1}=a^{(m‑n)(aⁿ‑1)} 가지가 있다. 결과적으로 \