상관 레일리 페이딩 채널에서 비밀 용량의 닫힌 형태 식

본 논문은 물리계층 보안의 대표 모델인 와이어탭 채널을 레일리 페이딩 환경에 적용하면서, 메인 채널(Alice‑Bob)과 도청자 채널(Alice‑Eve) 사이에 존재할 수 있는 통계적 상관관계를 고려한다. 연구는 다음과 같은 흐름으로 전개된다. 1. **시스템 모델 정의** - Alice가 전송하는 신호 \(x\)는 복소 가우시안 페이딩 계수 \(h_{sd}\)와 \(h_{se}\)를 통해 각각 Bob과 Eve에게 전달된다. - 수신 신호는 \(y=h_{sd}x+n_d\), \(z=h_{se}x+n_e\) 로 표현되며, 잡음은 단위 분산의 복소 가우시안이다. - instantaneous SNR은 \(\alpha=|h_{sd}|^2\), \(\beta=|h_{se}|^2\) 로 정의되고, 각각 평균값 \(\lambda_1,\lambda_2\) 를 가진 지수 분포를 따른다. - \(\alpha\)와 \(\beta\)는 상관계수 \(\rho\) 로 연결된 공동 확률밀도함수 \(f(\alpha,\beta)\) 를 갖는다. 이 PDF는 수정된 베셀 함수 \(I_0(\cdot)\) 로 표현되며, 식(2)와 같이 제시된다. 2. **무한 급수 전개** - 베셀 함수의 무한 급수 전개 \(I_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{2k}}{(k!)^2}\) 를 이용해 공동 PDF를 항별로 분리한다. - 각 항은 계수 \(c_k=\frac{\rho^k}{(k!)^2(1-\rho)^{2k+1}}\) 와 단순 형태의 함수 \(f_k(\alpha,\beta)=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}e^{-(\alpha/\lambda_1+\beta/\lambda_2)/(1-\rho)}(\alpha/\lambda_1)^k(\beta/\lambda_2)^k\) 로 구성된다. 3. **평균 비밀 용량 유도** - 비밀 용량은 단일 실현에 대해 \(C_s(\alpha,\beta)=\max\{0,\ln(1+\alpha)-\ln(1+\beta)\}\) 로 정의된다. - 평균값은 \(\bar C_s=\iint C_s(\alpha,\beta)f(\alpha,\beta)d\alpha d\beta\) 로 표현되고, 위의 급수 전개를 대입하면 항별 적분 형태가 된다. - 적분은 \(\int_0^{\infty}\ln(1+\lambda x)e^{-\mu x}x^kdx\) 형태의 함수 \(F(\lambda,k,\mu)\) 로 귀결되며, 부분적분과 표준 적분표를 이용해 재귀식 \(F(\lambda,k,\mu)=\frac{\lambda}{\mu}F_{k+1}+\frac{k}{\mu}F(\lambda,k-1,\mu)\) 로 계산된다. 여기서 \(F_k\) 는 지수 적분 \(E_1(\cdot)\) 와 감마 함수 \(\Gamma(\cdot)\) 로 명시적으로 표현된다. - 최종 평균 비밀 용량 식(5)은 무한 급수와 이중 합으로 구성되며, 각 항은 \(F(\lambda_1,k,\cdot)\) 와 \(F(\lambda_2,k,\cdot)\) 로 이루어진다. 실제 계산에서는 \(\rho\) 가 0에 가까울수록 급수가 빠르게 수렴한다. 4. **비밀 용량 아웃풋 확률** - 목표 비밀률 \(R\) 에 대해 아웃풋 확률은 \(P_{\text{out}}(R)=1-\Pr\{\alpha>e^{R}(1+\beta)-1\}\) 로 정의된다. - 동일한 베셀 함수 급수 전개를 적용하면, 식(11)과 같이 다중 합 형태의 닫힌 식이 도출된다. 여기서 \(y=(e^{R}-1)/\lambda_1\), \(\mu=e^{R}\lambda_2/\lambda_1\) 가 사용된다. - 이 식은 \(\Gamma(\cdot)\) 와 계승 연산자를 포함하지만, 실제 구현에서는 몇 개의 항만으로도 높은 정확도를 제공한다. 5. **시뮬레이션 및 결과** - λ₁=λ₂ (동일 평균 SNR) 조건 하에 ρ를 0, 0.1, 0.5, 0.9 로 변화시켜 평균 비밀 용량을 평가하였다. - 결과는 ρ가 증가할수록 메인 채널과 도청자 채널이 유사해져 비밀 용량이 크게 감소함을 보여준다. 특히 ρ=0.9 일 때는 거의 비밀 전송이 불가능에 가까워진다. - 고SNR 영역에서는 기존 문헌