아론 불가능성 정리의 새로운 정량적 경계

아론의 불가능성 정리는 세 개 이상의 대안이 존재하는 경우, 독립성(Independence of Irrelevant Alternatives, IIA)과 만장일치(Unanimity) 조건을 만족하고 독재자가 아닌 일반화 사회복지함수(Generalized Social Welfare Function, GSWF)는 반드시 비이행성을 가진다고 명시한다. 2002년 Kalai는 다음과 같은 정량적 버전을 질문하였다: 임의의 ε>0에 대해, ε에만 의존하는 δ=δ(ε) 가 존재하여, 세 대안을 다루는 GSWF가 IIA 조건을 만족하고 비이행 결과의 확률이 δ 이하라면, 그 GSWF는 독재성 혹은 만장일치 위반으로부터 최대 ε만큼만 떨어져 있다는 것이다. 2009년 Mossel은 이러한 정량적 버전을 증명했으며, δ(ε)=exp(−C/ε^{21}) 라는 형태를 제시하고 이를 k≥3개의 대안을 갖는 GSWF로 일반화하였다. 본 논문에서는 δ(ε)=C·ε^{3} 로 보다 강력한 정량적 경계를 제시하고, 로그 항을 제외하고는 이 결과가 최적임을 보인다. 우리의 증명은 Kalai와 Mossel의 작업을 기반으로 하지만, 추가적인 요소로서 Bonami‑Beckner 하이퍼컨트랙티비티와 Borell가 제시한 역하이퍼컨트랙티비티를 결합하여, 이산 입방체 위의 부울 함수들 사이의 “노이즈 상관”에 대한 상하한을 동시에 구한다. 또한 이 결과는 k개의 대안을 갖는 GSWF에 대해서도 동일하게 적용된다.