기본 임베딩과 힐베르트 제13문제

이 논문은 순수히 설명적인 성격을 띤다. 콜모고로프‑아놀드가 힐베르트 제13문제의 초합성 해법을 제시하는 과정에서 ‘기본 임베딩’이라는 개념이 등장하였다. ℝ²의 부분집합 K가 기본이라는 것은 K 위의 모든 연속 함수 f:K→ℝ에 대해 연속 함수 g, h:ℝ→ℝ가 존재하여 f(x,y)=g(x)+h(y) ( (x,y)∈K )가 성립함을 의미한다. 우리는 평면의 기본 부분집합들을 기술하고 그에 대한 증명을 제시한다. 또한 평면에 기본적으로 임베딩될 수 있는 그래프들의 전형을 제시함으로써 아놀드와 스턴펠드가 제기한 문제들을 해결한다. 마지막으로 ‘기본’ 성질의 부드러운(스무스) 버전에 관한 몇몇 결과와 아직 해결되지 않은 문제들을 소개한다. 이 글은 학부 수준의 독자도 이해할 수 있도록 서술되었으며, 숙련된 수학자에게도 흥미로운 가벼운 읽을거리를 제공한다. 두 섹션은 서로 독립적으로 읽을 수 있다.