반복 카운트 데이터 분석을 위한 베타‑이항·감마‑포아송 회귀 모델

본 논문은 다변량 카운트 데이터, 특히 동일 피험자에 대해 여러 조건·시점에서 반복적으로 관찰된 성공·실패 횟수를 분석하기 위한 새로운 통계 모델을 제시한다. 서론에서는 베타‑이항 모델이 성공 확률의 이질성을, 다변량 포아송 모델이 시도 횟수의 변동성을 각각 어떻게 다루어 왔는지를 검토하고, Lora·Singer(2008)의 베타‑이항/포아송 혼합 모델이 반복 측정 간 트라이얼 수의 공분산을 고정값으로 두어 과산포를 충분히 반영하지 못한다는 한계를 지적한다. 이를 보완하기 위해 저자는 베타‑이항/감마‑포아송 혼합 모델을 설계한다. 모델은 네 개의 확률 단계로 구성된다. 첫 단계에서 성공 횟수 \(X_{gh}\)는 조건부 베타‑이항 분포를 따르며, 성공 확률 \(\pi_{gh}\)는 베타 분포에서 추출된다. 여기서 평균 \(\mu_{gh}\)와 과산포 파라미터 \(\theta_{gh}\)는 각각 로짓 변환과 로그 변환을 통해 공변량 행렬 \(z_{\mu},z_{\theta}\)와 회귀계수 \(\beta_{\mu},\beta_{\theta}\)에 연결된다. 두 번째 단계에서는 시도 횟수 \(N_{gh}\)가 감마‑포아송 혼합 모델을 따른다. 공통의 감마 잠재 변수 \(\tau_g\)가 각 조건에 대해 포아송 평균 \(\lambda_{gh}\tau_g\)을 제공하고, \(\lambda_{gh},\alpha_g,\delta_g\) 역시 로그 선형 형태로 공변량 \(z_{\lambda},z_{\alpha},z_{\delta}\)와 회귀계수 \(\beta_{\lambda},\beta_{\alpha},\beta_{\delta}\)에 매핑된다. 이 구조를 통해 (i) 성공 확률의 과산포, (ii) 시도 횟수의 과산포, (iii) 동일 피험자 내 여러 조건 간의 공분산을 모두 모델링할 수 있다. 특히 \(\delta_g\)가 0이 아니면 반복 측정 간 양의 상관이 존재함을 의미하고, \(\theta_{gh}=0\)이면 성공 확률에 과산포가 없음을 나타낸다. 모수 추정은 전체 로그우도를 베타‑이항 부분과 감마‑포아송 부분으로 분리한 뒤, 각각에 대해 뉴턴‑라프슨 알고리즘을 적용한다. 1차·2차 도함수는 논문 부록에 상세히 제시되어 있어 구현이 용이하다. 초기값은 모멘트 추정법이나 경험적 평균·분산을 활용한다. 파라미터 검정은 우도비 검정(LR)으로 수행하고, 자유도는 제거된 파라미터 수에 따라 결정한다. 실제 적용 사례로 파킨슨병 환자와 정상 대조군을 대상으로 손가락 움직임 실험 데이터를 분석한다. 각 피험자는 두 손, 두 종류의 시퀀스(활성·통제), 두 평가 시점(기저·최종)에서 1분 동안 시도와 성공 횟수를 기록하였다. 데이터는 25명 환자와 21명 정상인으로 구성되며, 6개의 하위 그룹(질병 단계·선호 손)으로 나뉜다. 평균·분산을 살펴보면, 성공 횟수와 시도 횟수 모두 포아송·이항 기대분산보다 크게 초과하는 과산포 현상이 확인된다. 또한 동일 피험자 내 조건 간 상관계수가 0.6 이상인 경우가 다수 존재해 독립 가정이 부적절함을 시사한다. 모델 적합 과정에서는 처음에 모든 주 효과와 1차 상호작용을 포함한 포괄적 모델을 설정하고, 비유의미한 항을 단계적으로 제거하였다. 최종 베타‑이항 부분에서는 성공 확률 \(\mu_{gh}\)에 질병 단계와 손 선호도, 시퀀스·평가 시점 간 상호작용이 유의하게 작용했으며, 과산포 파라미터 \(\theta_{gh}\)는 대부분의 조건에서 0이 아니었다. 감마‑포아송 부분에서는 \(\delta_g\)가 양수이며 통계적으로 유의해 반복 측정 간 양의 공분산을 반영한다는 결론을 얻었다. 두 모델(Lora·Singer vs. 제안 모델)을 비교한 결과, 제안 모델은 AIC와 BIC가 모두 더 낮아 데이터 적합도가 우수함을 보였다. 특히 시도 횟수의 과산포와 공분산을 적절히 모델링함으로써 추정된 표준오차가 감소하고, 회귀계수의 유의성이 보다 명확히 드러났다. 결론적으로, 베타‑이항/감마‑포아송 혼합 회귀 모델은 반복 측정된 다변량 카운트 자료에서 과산포와 상관을 동시에 다루는 강력한 도구이며, 기존 모델 대비 구현이 간단하고 해석이 직관적이다. 향후 연구에서는 더 복잡한 시간 의존 구조나 비선형 효과를 포함시키는 확장이 제안된다.