Σ구성 및 필수 변수·위치 이론의 확장

본 논문은 대수적 서명 τ=(F,τ)와 변수 집합 X 위에서 정의되는 항 W_τ(X)의 구조적 특성을 심도 있게 탐구한다. 먼저, 전통적인 항의 정의와 함께 각 항의 변수 집합 var(t), 서브항 집합 Sub(t), 깊이 Depth(t), 그리고 위치 집합 Pos(t)를 정형화한다. 위치는 트리 형태의 항을 문자열 N*F (연산 기호 인덱스의 유한 문자열)로 표현하여, 루트 ε 부터 각 자식 노드로 이동하는 경로를 통해 고유하게 지정한다. 핵심 개념은 Σ‑동등성(Σ⊢ r≈s)을 이용한 Σ‑구성 연산이다. 두 항 r, s가 Σ‑동등하면, 임의의 항 t에 대해 최소 위치 집합 Pₜʳ을 찾아 t Σ (r←s) = t(Pₜʳ; s) 로 정의한다. 여기서 최소 위치는 ≺ 관계에 따라 서로 겹치지 않는 가장 위쪽 위치들을 의미한다. 이 정의는 기존의 전역 치환 t(r←s)와 일치함을 보이며, Σ‑동등성을 보존하는 교체가 가능함을 보장한다. 다음으로, 변수와 위치에 대한 필수성 개념을 Σ에 대해 확장한다. 변수 xᵢ가 Σ‑필수라 함은 어떤 Σ‑모델 A에서 xᵢ를 다른 원소로 바꾸면 t 의 해석값이 변한다는 의미이며, 이는 등가적으로 “∃ r≠xᵢ ∧ Σ⊢ t≈t(xᵢ←r)” 로 표현된다. 반대로 Σ‑비필수 변수는 모든 교체에 대해 Σ⊢ t≈t(xᵢ←v)가 성립한다. 위치 p∈Pos(t)도 동일하게 정의되며, p가 Σ‑필수이면 t(p; xₙ₊₁) 에 새로운 변수 xₙ₊₁을 삽입했을 때 Σ‑모델에서 값이 달라진다. 정리 2.2는 필수 위치의 조상도 모두 필수임을 증명한다. 즉, p∈PEss(t,Σ)이면 p의 모든 선조 q≺p도 PE​ss(t,Σ)이다. 이는 필수 위치 집합이 트리 구조에서 위쪽으로 닫힘을 의미한다. 반대로, 비필수 위치 q∈PFic(t,Σ)라면 그 하위 모든 위치도 비필수임을 보이는 정리 2.4가 제시된다. 이러한 필수·비필수 구분을 이용해 Σ‑비필수 위치에 대한 교체 가능성을 정리 2.3에서 증명한다. 즉, p∈PFic(t,Σ)이면 임의의 항 v에 대해 Σ⊢ t≈t(p;v) 가 성립한다. 이는 증명 과정에서 비필수 위치를 자유롭게 대체할 수 있음을 의미한다. 논문은 이후 ΣR 연산을 정의한다. ΣR은 Σ‑동등성을 보존하면서, 모든 Σ‑필수 서브항을 최소 위치에서 동시에 교체하는 닫힘 연산이다. 구체적으로, ΣR(Σ)은 Σ와 함께 t Σ (r←s) 연산을 반복 적용해 얻어지는 가장 작은 닫힌 집합이다. ΣR‑닫힌 식 집합은 완전 불변 합동(congruence)을 형성하며, 이를 만족하는 다양체를 “안정적(variety)”라 명명한다. 안정적 다양체는 기존의 “고정(solid)” 다양체와 달리, Σ‑동등성에 의해 정의된 모든 최소 교체를 포함하므로 더 넓은 대수적 구조를 포괄한다. 마지막으로, Σ‑균형 식을 도입한다. 식 s≈t가 Σ‑균형이면, 양변에 등장하는 Σ‑필수 서브항들의 다중집합이 동일함을 의미한다. 정리 4.1은 Σ‑균형성이 ΣR‑추론 아래에서도 보존된다는 것을 증명한다. 즉, ΣR‑닫힌 집합 내에서 Σ‑균형 식은 새로운 식을 도출할 때도 균형을 유지한다. 이는 증명 체계의 간소화와 중복 제거에 기여한다. 전체적으로 논문은 Σ‑동등성을 기반으로 한 항 교체 연산, 필수 변수·위치 개념, 그리고 이를 활용한 닫힘 연산 ΣR 과 Σ‑균형 식을 체계적으로 구축한다. 이를 통해 식 이론의 증명 과정을 구조적으로 단순화하고, 새로운 대수적 개념인 안정적 다양체를 제시함으로써 기존의 변형 이론(고정 다양체 등)과의 관계를 명확히 한다.