정확한 그래프 분할을 위한 새로운 최적화 알고리즘

본 논문은 가중치 그래프의 최소 컷(분할) 문제를 정확히 해결하기 위한 새로운 알고리즘을 제시한다. 먼저, 그래프 G=(V,E)와 가중치 aᵢⱼ를 이용해 이산적인 0‑1 변수 xᵢ∈{0,1} 로 표현되는 전통적인 모델을 연속형 이차계획(QP) 형태인   min f(x) = (1−x)ᵀ(A+D)x   s.t. 0 ≤ x ≤ 1, l ≤ 1ᵀx ≤ u 으로 변환한다. 여기서 A는 가중치 행렬, D는 대각 행렬이며, dᵢᵢ+dⱼⱼ≥2aᵢⱼ, dᵢᵢ≥0 를 만족하면 (Theorem 2.1) 최적 해는 반드시 이진 해가 된다. 즉, 연속형 QP를 풀면 바로 그래프의 최적 분할을 얻을 수 있다. 알고리즘의 핵심은 분기한정(branch‑and‑bound) 프레임워크 안에서 강력한 하한을 제공하는 것이다. 이를 위해 목적함수 f(x)를 볼록(convex)과 볼록이 아닌(concave) 두 부분으로 분해한다. 두 가지 분해 전략이 제안된다. 1. **고유값 기반 분해** f(x) =