모듈형 네트워크의 전역 구조와 거리 분포

본 논문은 복합적인 구조를 가진 대규모 네트워크, 즉 여러 개의 뚜렷한 커뮤니티(모듈)로 구분되고 각 모듈 내부와 모듈 간 연결 양상이 서로 다른 시스템을 대상으로 한다. 저자들은 이러한 ‘모듈형 네트워크’를 수학적으로 모델링하기 위해 두 개의 무상관 랜덤 그래프(서브네트워크)와 이들을 연결하는 L개의 인터링크를 고려한다. 각 서브네트워크는 정점 수 N₁, N₂와 차수 분포 Π₁(q), Π₂(q)를 갖으며, 차수의 두 번째 모멘트가 수렴한다는 가정을 둔다. 또한, 데드 엔드(차수가 1인 정점)가 없도록 함으로써 무한 네트워크 한계에서 유한 연결 컴포넌트가 사라지는 조건을 만족한다. 연구의 핵심 방법론은 Z‑변환(생성함수) 기법이다. 두 변수 생성함수 φ₁(x,y)=∑_{q,r}Π₁(q,r)x^{q}y^{r}, φ₂(x,y)=∑_{q,r}Π₂(q,r)x^{q}y^{r}를 정의하고, 이를 통해 평균 내부 차수(¯q₁, ¯q₂)와 평균 인터 차수(¯r₁, ¯r₂)를 구한다. 이어서 각 정점 쌍에 대해 n‑번째 컴포넌트 Cₙ을 재귀적으로 정의하고, 그 크기 M⁽¹⁾ₙ, M⁽²⁾ₙ을 구하는 식을 도출한다. 이때, 네트워크가 국소적으로 트리 구조를 가진다는 가정(사이클이 희박함)을 이용해 독립적인 확률 변수로 분리한다. 결과적으로 네 개의 결합 분포 함수 ψ⁽¹⁾ₙ, ψ⁽²⁾ₙ, θ⁽¹⁾ₙ, θ⁽²⁾ₙ가 얻어지고, 이들의 재귀 관계식(식 16)은 기존 무상관 네트워크의 경우와 유사하지만, 인터링크에 대한 추가 항이 포함된다. 이러한 수식들을 미분하여 x=y=1에서 평가하면, n‑번째 컴포넌트의 평균 크기와 평균 거리와 직접 연결되는 평균 분기 계수 ζ₁, ζ₂를 얻는다. ζ₁, ζ₂는 내부 차수와 인터링크 수 L에 의해 결정되며, 구체적으로 ζ₁ = K₁ + (L²/(N₁N₂¯q₁¯q₂))·(K₁−K₂)·K₂⁻¹, ζ₂ = K₂ − (L²/(N₁N₂¯q₁¯q₂))·(K₁−K₂)·K₁⁻¹ 와 같이 표현된다(K₁, K₂는 내부 차수와 인터 차수의 결합 평균). 여기서 K₁>K₂, ζ₁>ζ₂를 가정한다. 평균 거리 ℓ₁, ℓ₂와 서브네트워크 간 평균 거리 d는 다음과 같은 로그 스케일 식으로 근사된다. ℓ₁ ≈ ln N₁ / ln ζ₁, ℓ₂ ≈ d + (1/ln ζ₂)·ln(N₂/L)·