가족 지수의 코보르디즘 불변성: K‑이론으로 보는 새로운 증명

이 논문은 “가족 지수의 코보르디즘 불변성”이라는 주제를 K‑이론적 관점에서 새롭게 조명한다. 먼저 저자는 베이스 공간 B 가 콤팩트 위상공간이고, 섬유가 매끄러운 닫힌 다양체 M 로 이루어진 연속적인 섬유다발 π : 𝓜 → B 를 설정한다. 각 섬유 M_b 에 대해 매끄러운 벡터다발 E_b, F_b 를 잡고, 이들 위에 정의된 고전적인 의사미분 연산자 P_b : Γ(E_b) → Γ(F_b) 를 연속적으로 모은 가족 P = (P_b)_b∈B 를 고려한다. P 가 타원형이면 각 P_b 가 Fredholm 연산자가 되며, 이를 위해 충분히 큰 유한 차원 보조 공간 ℂ^k 를 추가해 전사성을 확보한 ˜P 를 만든다. ˜P_b (u,λ) = P_b(u)+∑ λ_i w_i(b) 와 같은 형태이며, 여기서 w_i(b) 는 F_b 위의 매끄러운 섹션이다. 이렇게 하면 각 ˜P_b 가 전사이고, 커널이 베이스 B 위의 매끄러운 벡터다발을 형성한다. 따라서 K⁰(B) 에서 ind(P) =