그람 행렬 기반 측정값 커널

본 논문은 “양의 측정값을 비교하기 위한 새로운 커널 군”을 제시한다. 먼저 𝓧를 임의의 공간이라 가정하고, 그 위에 양의 재생 커널 𝜅가 정의되어 있다고 설정한다. 측정값 𝜇∈𝑀⁺ᵇ(𝓧)는 유한한 지원을 가질 수 있는 원자 측정값(히스토그램, 포인트 클라우드 등)으로 본다. 저자들은 이러한 측정값을 세미그룹(덧셈 연산)으로 보고, 두 측정값 𝜇,𝜈의 합 𝜇+𝜈에만 의존하는 함수 ψ(𝜇+𝜈)를 커널로 사용한다. 이때 ψ는 다음 세 가지 조건을 만족한다. (i) ψ∘Σ는 양정(positive) 혹은 음정(negative) 정의 함수여야 한다. (ii) ψ는 스펙트럴, 즉 공분산 행렬 Σ(𝜇+𝜈)의 고유값에만 의존해야 한다. (iii) ψ는 영 고유값이 추가되더라도 불변해야 한다. 공분산 행렬 Σ(𝜇)는 Σ(𝜇)=𝔼_𝜇