연속형 1차 이동 평균 최대값의 분포

서론에서는 상관이 있는 시계열의 극값 이론이 거의 연구되지 않았으며, 기존에는 Gaussian 과정이나 약한 수렴 결과만 알려져 있음을 지적한다. 저자는 독립적인 기본 변수 {e_i} 로부터 X_i = e_i + ρ e_{i-1} (ρ≠0) 로 정의되는 1차 이동 평균(MA(1)) 모델을 선택하고, M_n = max_{1≤i≤n} X_i 의 분포를 정확히 구하고자 한다. 2장에서는 재귀식 G_n(y)=P(M_n≤x, e_n≤y) 를 도출한다. ρ>0이면 G_n(y)=K^n F(y) 로 단순히 적분 연산자 K 를 n번 적용한 형태가 되며, ρ<0인 경우는 G_{n+1}(y)=u_n F(y)+K G_n(y) 로 전개된다. 여기서 u_n=G_n(∞) 를 구하기 위해 생성함수 U(t)=∑_{n≥0} u_n t^n, V(t)=∑_{n≥0} v_n t^n (v_n=K^n F(∞)) 를 도입하고, (U−V)/t = U V 라는 관계를 얻는다. 이를 풀어 u_n을 Bell 다항식 ˆB_n(w) 로 표현한다(식 2.7). 구체적인 전개 예시가 n=1~9까지 제시되어, v_n의 조합이 어떻게 u_n에 누적되는지 보여준다. 3장에서는 F가 연속밀도 f를 갖는 경우를 다룬다. 적분 연산자 K는 Fredholm 커널 K(y,z)=ρ I(x≤y+ρz) f(x−ρz) 로 표현되고, L² 노름이 1보다 작아 고유값 λ_j(=1/ν_j) 가 절대값 <1 인 무한열을 가진다. 고유함수 r_j, l_j 는 bi‑orthogonal이며, λ_j K r_j = r_j, λ_j l_j K = l_j 로 정의된다. 고유값 전개를 이용해 v_n=∑ β_j ν_j^n, u_n=∑ β_j ν_j^n (ρ>0) 로 얻는다(식 3.6). 여기서 β_j = r_j(∞)∫ l_j dF, B=∑ β_j 로 정규화된다. ρ<0인 경우는 복잡한 부분합 형태가 나오지만, u_n≈γ_1 δ_1^n 로 근사한다(식 3.13). 고유값을 구하기 위해 r_j와 l_j에 대한 1차 선형 미분방정식(식 3.15, 3.18)을 도출한다. 이는 초기조건 r_j(−∞)=0, l_j(−∞)=0(또는 ∞) 로 완전해를 구할 수 있게 한다. 실제 계산에서는 무한 행렬 A_{kj}=1/(δ_k−ν_j) 를 N×N 로 절단하고, 고유값·고유벡터를 수치적으로 구한다. 또한, 고유값을 찾는 방정식 ∑_{i=1}^∞ w_i/(c−θ_i)=c−θ_0 (식 3.27) 를 제시하고, 이를 다항식 근사법으로 해결한다. 예시 3.1에서는 지수분포 F(y)=a e^{a y} (y≤0) 를 사용해 r_j(y)=e^{b_j y} 형태의 해를 구하고, 고유값 관계 b_j|ν_j|/a = e^{b_j x/ρ} 로 나타낸다. 예시 3.2에서는 정규밀도 φ를 사용해 테일러 전개와 행렬 Q, U, V 등을 이용해 고유함수를 수치적으로 구하는 절차를 상세히 설명한다. 결론에서는 양의 상관(ρ>0)일 때 P(M_n≤x)≈B_x ν_1^n 로 지수적 감소가 지배적이며, 음의 상관(ρ<0)일 때는 복소수 고유값 쌍이 나타날 수 있지만 절대값이 가장 큰 δ_1 이 지배한다는 점을 강조한다. 또한, 본 방법이 Fredholm 이론과 고유값 전개를 이용해 상관이 있는 시계열의 극값 분포를 정확히 기술할 수 있는 강력한 도구임을 재확인한다.