링크드 매트릭스 연산으로 보는 비가환 링 위 선형대수

본 논문은 단위원을 가진 결합적이지만 비가환일 수 있는 임의의 링 R에 대해, 행렬 쌍 (B|A)를 이용한 형식적 매트릭스 연산 체계를 구축한다. 먼저 n개의 열을 가진 행렬 A와 같은 행 수를 가진 행렬 B를 쌍으로 묶어 L′ₙ(R)에 배치하고, 전이 관계 ≤ₙ을 정의한다. 이 관계는 존재하는 행렬 U, V, G에 대해 U·B = B′·V, U·A = A′ + B′·G 라는 식을 만족할 때 (B|A) ≤ₙ (B′|A′)가 된다. 전이 관계는 세 가지 기본 규칙, 즉 (1) 좌측 행 연산 U에 의한 확대, (2) 우측 열 연산 V에 의한 축소, (3) B에 대한 오른쪽 선형 결합 G에 의한 변형을 포함한다. 이 세 규칙을 ‘좌측 가분성(Rules of Divisibility, RoD)’이라 부르며, 전이 관계가 가장 약한 전순서임을 정리 2에서 증명한다. 동치 관계 ≈ₙ은 ≤ₙ과 그 역관계를 동시에 만족하는 쌍으로 정의하고, 그 동치류