최소거리 그래프만으로 확장 완전 1오류정정 코드 복원

이 논문은 확장 완전 이진 1오류정정 코드와 그 최소거리 그래프 사이의 깊은 관계를 탐구한다. 서론에서는 코드의 기본 개념, 최소거리 그래프 정의, 그리고 스티어너 시스템(STS, SQS)과의 연결을 소개한다. 이어서 코드 동형성 문제를 약한 등거리와 등거리 개념으로 재정의하고, 기존 연구(Avgustinovich 등)의 결과를 정리한다. 제2장에서는 약한 등거리인 확장 1‑완전 코드가 실제로 등거리임을 보이는 정리 1과 정리 2를 제시한다. 핵심 아이디어는 최소거리 그래프에서 거리 4와 거리 6인 코드워드 쌍을 구분할 수 있다는 점이다. 거리 i+2와 i+4를 구별하기 위해 이웃 코드워드의 개수를 비교하고, i ≥ 4일 때 차이가 충분히 크다는 수학적 부등식을 이용한다. 제3장에서는 실제 복원 알고리즘을 제시한다. 먼저 임의의 정점을 0 코드워드로 정하고, 레마 1을 이용해 거리 6인 코드워드를 식별한다. 그 다음, 이웃 SQS의 블록 그래프를 구성하고, 레마 2·3을 통해 최대 클리크를 찾아 각 좌표를 복원한다. 무게 ≤ 4인 코드워드와 무게 6인 코드워드가 모두 확보되면, 귀납적으로 더 높은 무게의 코드워드를 재구성한다. 구체적으로, 각 좌표 r에 대해 {i,j,k}⊂supp(x)인 삼중을 찾아, x와 거리 4인 이웃 v, y, z를 이용해 r을 고유하게 결정한다. 이를 반복하면 전체 코드가 복원된다. 제4장에서는 1‑완전 코드를 다루며, 레마 4를 통해 거리 4인 코드워드 쌍을 그래프에 새 에지로 추가한다. 이렇게 하면 1‑완전 코드의 최소거리 그래프가 확장 코드의 그래프와 동일해지므로, 앞서 제시한 복원 절차를 그대로 적용해 원래 코드를 복원한다. 제5장에서는 자동군 동형성을 증명한다. 확장 코드의 경우, 그래프 자동군이 코드 자동군에 직접 대응함을 보이며(정리 5), 1‑완전 코드도 동일한 논리로(정리 6) 자동군이 동형임을 확인한다. 마지막 결론에서는 이 결과가 코드 동등성 판별을 그래프 동형성 검사로 단순화시킬 수 있음을 강조하고, 기존의 비효율적인 방법 대비 실용적 이점을 제시한다. 또한, 최소거리 그래프만으로 코드 구조를 완전히 복원할 수 있다는 메트릭 강직성(metric rigidity) 결과가 이론적·실용적 의미를 모두 갖는다고 정리한다.