벡터에서 메네수로

이 논문은 기존의 벡터 공간 이론을 인공지능 분야에 적용하기 위해 ‘메네수(mnesor)’라는 새로운 대수 구조를 정의한다. 전통적인 벡터는 스칼라 필드 K 위에서 정의되며, 스칼라 곱과 벡터 덧셈을 통해 크기와 방향을 표현한다. 그러나 정보 처리에서는 크기보다 정밀도와 순서가 더 중요하므로, 저자는 스칼라 필드를 격자 L(⊕,⊗)로 교체하고, 스칼라 곱을 ‘입자(granular) 곱’이라 부른다. 메네수 공간은 두 정렬된 집합 M(덧셈 +)과 L(격자 연산 ⊕,⊗)으로 구성된 이중 정렬 구조이다. M은 항등원 0을 갖는 모노이드이며, L은 최고원 τ와 필요시 최저원 ε를 가진 격자이다. 주요 공리들은 다음과 같다. (3) x·τ = x (단위 원소), (4) (x + y)·λ = x·λ + y·λ (덧셈과 입자 곱의 분배), (5) x·λ·µ = x·(λ⊗µ) (입자 곱의 결합), (6) x·λ + x·µ = x·(λ⊕µ) (입자 곱 사이의 분배). 이 공리들로부터 여러 중요한 성질이 도출된다. 첫째, 덧셈이 멱등이다: x + x = x. 이는 정보 집합을 합칠 때 중복을 자동으로 제거한다는 의미다. 둘째, ‘우선순위’ 성질 x + y + x = x + y 가 성립하여, 이미 포함된 원소를 다시 추가해도 결과가 변하지 않는다. 셋째, 전치(prefix)와 접미(suffix) 개념을 도입해 전치 순서(x ≤ y ⇔ x + y = y)를 정의하고, 이는 반사, 전이, 반대칭을 만족하는 부분 순서가 된다. 전치 순서는 격자 연산과도 호환되어, 전치를 추가하거나 격자 원소로 필터링해도 순서 관계가 유지된다. ‘흡수 속성’(7)은 임의의 메네수 x, y에 대해 어떤 입자 α가 존재해 (x + y)·α = x 임을 보장한다. 이는 전통적인 벡터의 뺄셈에 해당하는 연산을 격자 필터링으로 대체한 것으로, 특정 정보를 선택적으로 제거하고 원본을 복원할 수 있음을 의미한다. 안정자와 소멸자 개념도 정의된다. 입자 λ가 메네수 x에 대해 x·λ = x이면 λ는 x의 안정자이며, τ는 모든 메네수의 보편적 안정자이다. 안정자 집합 τₓ는 격자 연산에 대해 닫혀 있어 부분 격자를 이룬다. 반대로 x·λ = 0이면 λ는 x의 소멸자이며, 소멸자 집합 εₓ도 부분 격자를 형성한다. 최저원 ε가 존재하면 모든 메네수에 대해 x·ε = 0이 된다. 논문은 구체적인 예시를 통해 개념을 설명한다. 국가 리스트를 열벡터 형태로 표현하고, EU, NATO 등과 같은 조직을 격자 원소로 사용해 필터링 연산을 수행한다. 예를 들어, (France, Russia, Sweden)·EU = (France, Sweden)와 같이 EU에 속한 국가만 남는다. 또한, 전치와 접미가 서로 교환될 때 두 메네수가 ‘아나그램’ 관계에 있음을 보인다. 결론적으로, 메네수 이론은 벡터 연산을 정보‑지향 연산으로 재구성함으로써, 데이터베이스, 지식 표현, 인공지능 시스템 등에서 선형 구조를 활용할 새로운 수학적 토대를 제공한다. 향후 연구에서는 이론을 기반으로 한 알고리즘 설계와 실제 응용 사례를 탐구할 필요가 있다.