입자수 체계와 보완 연산을 통한 새로운 퍼지 집합 모델

본 논문은 퍼지 집합 이론에 새로운 수 체계인 ‘입자수’를 도입하고, 이를 기반으로 전통적인 보완 연산을 대체할 ‘보완(supplement)’ 연산을 정의한다. Ⅰ. 서론에서는 기존 Zadeh의 퍼지 집합에서 부정 연산이 두 종류(보완과 대조)로 나뉘지만, 대조적 부정은 충분히 다루어지지 않았음을 지적한다. 저자는 이 대조적 부정을 수학적으로 모델링하기 위해 입자수를 제안한다. Ⅱ. 정의 부분에서 입자수는 ‘1’과 ‘–’ 두 비트값을 갖는 튜플로 정의된다. 빈 튜플을 0, ‘1’만을 포함하는 튜플을 1로 표기한다. G#는 모든 가능한 튜플들의 집합이며, 재귀적 정의를 통해 각 튜플을 구성한다. 예시를 통해 여러 형태의 입자수를 보여준다. ‘덧셈(⊕)’은 비트wise AND 연산이며, 긴 튜플의 초과 비트는 잘라낸다. 재귀적 정의와 예시를 통해 연산이 결합적이고 멱등적임을 증명한다. 순서는 x ≥ y ⇔ x ⊕ y = x 로 정의된다. ‘곱셈(⊗)’은 비트wise OR 연산이며, 긴 튜플의 초과 비트는 그대로 이어 붙인다. 역시 결합성, 멱등성, 흡수법칙, 분배법칙을 만족함을 증명한다. 따라서 (G#, ⊕, ⊗)는 분배 격자를 형성한다. Ⅲ. 보완 연산은 두 입자수 x와 k에 대해, k가 ‘–’인 위치에서는 x의 비트를 그대로 두고, k가 ‘1’인 위치에서는 x의 비트를 뒤바꾼다. 정의는 재귀적으로 제시되며, 1↔– 변환을 이용한다. 보완은 자체 역함수이며, k가 평탄 입자수일 경우 보완은 항등 연산이 된다. 또한 x x 는 평탄 입자수이며 이를 ‘모듈’이라 부른다. Ⅳ. 퍼지 집합에 입자수를 적용한다. 멤버십 함수 μ_A : X → G# 로 정의하고, 집합 연산을 격자 연산으로 치환한다. 전체 집합은 μ = 0, 포함 관계는 μ_B ≤ μ_A, 합집합은 ⊕, 교집합은 ⊗, 보완은 앞서 정의한 보완 연산이다. Ⅴ. 예시에서는 교육 수준을 나타내는 HIGH_EDUCATED와 LOW_EDUCATED 두 퍼지 집합을 정의한다. 각 연령 k에 대해 입자수 형태의 멤버십 값을 부여하고, LOW_EDUCATED가 HIGH_EDUCATED의 1차 보완임을 시각적으로 보여준다. 이어서 VERY_HIGH_EDUCATED와 VERY_LOW_EDUCATED를 확장한 경우에도 동일한 보완 관계가 유지됨을 확인한다. 결론적으로, 입자수와 보완 연산은 퍼지 논리에서 부정 연산을 보다 풍부하게 모델링할 수 있는 새로운 프레임워크를 제공한다. 격자 구조가 이산적이면서도 연산이 간단해 구현이 용이하고, 대조적 부정을 명시적으로 다룰 수 있다. 다만, 입자수의 길이 제한, 실제 데이터에 대한 적용 가능성, 기존 퍼지 시스템과의 통합 문제 등은 향후 연구가 필요하다.