아슬람의 P NP 주장에 대한 철저한 반박

본 논문은 아슬람이 발표한 “불완전 이분 그래프에서 완전 매칭을 셈하는 NC‑알고리즘”이 실제로는 #P‑완전 문제를 해결하지 못한다는 점을 체계적으로 증명한다. 먼저 아슬람 논문의 핵심 정의들을 정리한다. 완전 매칭은 양쪽 파티션이 같은 크기 \(n\)인 이분 그래프 \(B G_n\)에서 각 매칭을 순열 \(\pi\in S_n\)으로 표현한다. 순열은 전치(transposition)들의 곱으로 분해될 수 있으며, 각 전치는 그래프 \(\Gamma(n)\)의 노드 \((i,k,j_i)\)와 일대일 대응한다. \(\Gamma(n)\)은 \(O(n^3)\)개의 노드와 여러 종류의 에지(R‑edge, S‑edge, jump‑edge)로 구성된 DAG이며, 이 DAG의 “완전 유효 다중 경로”(CVMP)는 순열 하나에 정확히 대응한다. 아슬람은 CVMP를 부분 경로 집합인 VMPSet\((a_i,a_j)\)으로 나누고, 두 VMPSet을 곱셈 연산으로 연결하면 경로 길이가 두 배가 되면서 집합 크기가 곱해진다고 주장한다. 또한 같은 레벨에 있는 VMPSet들은 동일한 Edge Requirements(ER)를 가져야 하며, 이를 유지하면 \(\log n\) 단계 안에 전체 CVMP를 합산해 매칭 수를 얻을 수 있다고 제시한다. 논문은 이 주장에 대한 두 가지 근본적인 결함을 지적한다. 첫째, ER은 각 노드가 포함하는 에지 집합 \(E_P\)에서 surplus edge(SE)를 제외한 결과이며, SE는 경로마다 달라질 수 있다. 곱셈 연산은 두 부분 경로를 연결하면서 새로운 SE를 생성하거나 기존 SE를 소멸시킨다. 따라서 결과 VMPSet이 동일한 ER을 유지한다는 가정은 일반적으로 깨진다. 둘째, 아슬람이 제시한 Lemma 5.9는 “같은 파티션에 속하는 모든 노드가 동일한 ER을 가져야 한다”는 조건을 필수로 선언하지만, 실제로는 SE가 서로 다른 두 경로가 같은 VMPSet에 포함될 경우 ER이 달라져 카운팅이 부정확해진다. 이론적 비판을 뒷받침하기 위해 저자는 구체적인 반례를 제시한다. \(n\ge9\)인 경우, \(\Gamma(9)\)의 서브그래프 \(\gamma\)를 정의하고, 이 서브그래프가 5개의 CVMP만을 포함하도록 설계한다. 각 CVMP는 서로 다른 순열에 대응하지만, 특정 불완전 이분 그래프 \(B G'_n\)에서는 일부 에지가 존재하지 않아 해당 CVMP들의 ER이 비어 있지 않다. 알고리즘은 모든 CVMP를 동일하게 합산해 ER = ∅인 경우만을 카운트하므로, 실제 매칭 수보다 과대평가한다. 또한 논문은 Lemma 1, Theorem 2, Lemma 3, Lemma 4 등을 통해 VMPSet의 수와 SE의 다양성이 어떻게 급격히 증가하는지를 수학적으로 증명한다. 특히 Lemma 3은 \((n-1)!\)개의 CVMP가 서로 다른 SE를 가질 수 있음을 보이며, 이는 VMPSet을 동일한 ER로 묶는 것이 불가능함을 의미한다. Lemma 4는 동일한 SE를 가진 VMPSet의 최소 개수가 \(\binom{n}{i}\)임을 보여, 전체 알고리즘이 다항 시간 안에 수행될 수 없음을 강조한다. 결론적으로, 아슬람의 알고리즘은 ER 보존이라는 핵심 가정을 위배하고, 실제로는 #P‑완전 문제인 완전 매칭 카운팅을 다항 시간에 해결하지 못한다. 따라서 “NP = P”를 증명하는 주장은 무효이며, 제시된 반례와 이론적 분석은 해당 알고리즘이 근본적으로 결함이 있음을 명확히 보여준다.