주파수 선택 MIMO 채널을 위한 인과성 제로포싱 프리코딩 최적 설계

본 논문은 주파수 선택(Frequency‑Selective) MIMO 채널에서 발생하는 다중 경로와 ISI를 제로포싱(zero‑forcing) 방식으로 보정하기 위해, 인과성(causality)과 선형 시불변(LTI) 특성을 갖는 프리코더(pre‑coder)를 설계하는 문제를 다룬다. 전통적인 다중 캐리어(OFDM) 방식은 각 서브캐리어를 독립적으로 equalize 하여 구현이 간단하지만, 피크‑투‑평균 전력비(PAPR)와 같은 단점을 가진다. 반면, 단일 캐리어(single‑carrier) 접근은 전체 채널을 하나의 전송 필터로 보정함으로써 PAPR를 낮출 수 있지만, 인과성 제약 하에서 최적 프리코더를 찾는 것이 어려운 과제로 남는다. 저자들은 이 문제를 “베조우트 식”(H(z) G(z)=I) 을 만족하는 G(z)를 찾는 것으로 정형화한다. 여기서 H(z)∈H_∞(ℂ^{m×n}) 은 안정적인 채널 전달함수이며, G(z)∈H_∞(ℂ^{n×m}) 은 인과성을 만족하는 프리코더이다. 베조우트 식을 만족하는 G(z)는 무한히 많을 수 있는데, 이 중에서 ‖G‖_∞ 를 최소화하는 것이 최악의 경우 전송 에너지와 잡음 증폭을 최소화하는 최적 설계가 된다. 먼저, Theorem 1을 통해 H(z) 가 오른쪽 역함수(right inverse)를 갖는 필요충분조건을 ‖T_{H*}‖≥δ 형태로 제시한다. 여기서 T_{H*} 는 Toeplitz 연산자이며, δ>0 은 H(z)H(z)∗≥δ²I 를 만족하는 최소 실수이다. 이 조건은 H(z) 가 완전 순위(full‑rank)이며, 최소 특이값이 0이 아님을 의미한다. 그 다음, 최적 성능 지표 γ_opt(H)=inf{‖G‖_∞ | H G=I, G∈H_∞} 를 정의하고, 이를 γ_opt(H)=ρ(H)⁻¹ 로 변환한다. ρ(H)는 ρ(H)=inf_{‖u‖_{H²}=1}‖T_{H*}u‖_{H²} 로 정의되며, 이는 H² 공간에서 H∗ 가 얼마나 “큰” 연산자인지를 측정한다. 비인과성(무한 지연) 프리코더의 경우 최적값은 inf_{‖u‖=1}‖H∗u‖_{H²}⁻¹ 와 동일하지만, 인과성 제약이 있으면 추가적인 Riesz 투영 P_+ 가 들어가면서 성능이 약간 저하된다. 수치적으로 γ_opt(H)를 구하기 위해 저자들은 ρ(H)를 다항식 차수 N 으로 제한한 ρ_N(H) 로 근사한다. 구체적으로, P_N 은 차수 N 이하의 다항식 공간이며, ρ_N(H)=inf_{u∈P_N,‖u‖=1}‖P_N T_{H*} u‖. 이 문제는 유한 차원의 행렬 연산으로 변환되며, Γ_{H,N} 라는 (n(N+1) × m(N+1)) 크기의 Toeplitz‑like 행렬을 구성한다. ρ_N(H)는 Γ_{H,N} 의 최소 특이값 σ_min(Γ_{H,N}) 로 계산된다. Theorem 7에 따르면 ρ_N(H)는 N이 증가함에 따라 단조 감소하고, lim_{N→∞}ρ_N(H)=ρ(H) 가 된다. 따라서 충분히 큰 N을 선택하면 γ_opt(H)≈1/σ_min(Γ_{H,N}) 로 고정밀 근사를 얻을 수 있다. 최적 프리코더 G_opt(z)의 실제 구현은 Schur 함수와 블록 행렬 표현을 이용한다. Lemma 3에 따르면 ‖F‖_∞≤1 인 Schur 함수 F(z)는 블록 행렬 T=