이진 순환 코드의 다섯 비영 가중치 연구

1. **연구 배경 및 목적** 이진 순환 코드는 그 구조가 단순하면서도 우수한 오류 정정 능력을 제공한다. 특히 최소다항식이 세 개인 경우(즉, $h_1h_2h_3$ 로 정의되는 경우) 코드는 삼중 오류 정정 BCH 코드와 밀접한 관계가 있다. 기존 연구에서는 $k=1$ 혹은 $n$ 이 짝수인 경우에 한해 가중치 분포가 알려졌으며, 일반적인 $k$ 와 $n$ 에 대해선 아직 미해결이었다. 본 논문은 $q=2^{n}$, $0\le k\le n-1$, $n/\gcd(n,k)$ 가 홀수이며 $k\neq n/3,2n/3$ 라는 조건 하에, 세 변수 지수합 $S(\alpha,\beta,\gamma)$ 의 값 분포를 완전히 규명하고 이를 통해 코드 $\mathcal C$ 의 가중치 분포를 도출한다. 2. **수학적 사전 지식** - $\operatorname{Tr}_1^n$ 은 $\mathbb F_{2^{n}}$ 에서 $\mathbb F_2$ 로의 트레이스이며, $\chi(x)=(-1)^{\operatorname{Tr}_1^n(x)}$ 로 정의되는 표준 가법 문자이다. - $d=\gcd(n,k)$, $s=n/d$ 로 두고 $\mathbb F_{2^{n}}$ 를 $\mathbb F_{2^{d}}$-벡터공간 차원 $s$ 로 보는 것이 핵심이다. - 이차형식 $F_{\alpha,\beta}(X)=X H_{\alpha,\beta} X^{T}$ 와 선형형식 $A_{\gamma}X^{T}$ 로 변환함으로써 지수합을 $\sum_{X\in\mathbb F_{2^{d}}^{s}}(-1)^{\operatorname{Tr}_d(F_{\alpha,\beta}(X)+A_{\gamma}X^{T})}$ 형태로 바꾼다. 3. **이차형식의 계수와 랭크 분석** Lemma 3 에서 $r_{\alpha,\beta}$ 를 $H_{\alpha,\beta}+H_{\alpha,\beta}^{T}$ 의 랭크라 정의하고, $\phi_{\alpha,\beta}(x)=\alpha^{2^{2k}}x^{2^{4k}}+\beta^{2^{2k}}x^{2^{3k}}+\beta^{2^{k}}x^{2^{k}}+\alpha x$ 라는 $2^{2k}$‑선형화 다항식의 영점 개수와 직접 연결한다. $\phi_{\alpha,\beta}(x)=0$ 은 최대 $2^{4k}$개의 해를 가지며, 이 해들은 $\mathbb F_{2^{k}}$‑벡터공간 차원 4 로 구성된다. $s$ 가 홀수이므로 $r_{\alpha,\beta}$ 는 $s-1$ 혹은 $s-3$ 만을 취한다. 4. **세 차수 모멘트 항등식** Lemma 4 에서 $\sum S(\alpha,\beta,\gamma)^3$ 를 직접 계산한다. 이를 위해 $x+y+z=0$, $x^{2^{k}+1}+y^{2^{k}+1}+z^{2^{k}+1}=0$, $x^{2^{2k}+1}+y^{2^{2k}+1}+z^{2^{2k}+1}=0$ 를 만족하는 $(x,y,z)$ 의 개수를 구한다. 경우를 $xyz=0$ 과 $xyz\neq0$ 로 나누어 계산한 결과 $M_3=2^{n}+2^{d}+2^{n-2d}$ 를 얻고, 최종적으로 \