정육면체 자유 이진 단어와 풍부한 제곱 구조

본 논문은 “Cubefree words with many squares”라는 제목 아래, 정육면체 자유(cubefree) 이진 단어가 얼마나 많은 서로 다른 제곱(squares)을 포함할 수 있는지를 탐구한다. 서론에서는 단어 이론에서 제곱(x x)과 정육면체(x x x)의 정의를 상기하고, 기존에 알려진 결과들을 정리한다. 특히, 3문자 알파벳 위에서는 무한히 긴 제곱 자유 단어가 존재하고, 2문자 알파벳 위에서는 겹침(overlap) 자유 단어가 존재한다는 점을 언급한다. 겹침 자유이면 자동적으로 정육면체 자유가 되므로, 무한히 긴 정육면체 자유 이진 단어는 반드시 제곱을 포함한다. 그러나 Dekking의 결과에 따르면, 이러한 단어는 길이 3 이하인 제곱만을 포함하도록 제한될 수 있다. 기존의 D0L(동형사상 반복) 방식으로 만든 무한 단어는 O(n log n) 수준의 제곱만을 가질 수 있다는 한계가 있다. 본 연구는 이러한 한계를 극복하고, 무한히 긴 정육면체 자유 이진 단어가 길이 n인 서로 다른 제곱을 지수적으로 많이 포함할 수 있음을 보인다. 핵심 도구는 Thue–Morse 수열 µ(0→01, 1→10)이다. Lemma 3은 Thue–Morse 수열이 모든 짝수 길이 n≥6에 대해 형태 1001 x′ = x′ 1001인 구간을 포함한다는 사실을 증명한다. 이를 바탕으로 Theorem 6은 x 0 x 0 형태의 문자열이 정육면체 자유임을, Theorem 7은 x 101100 x 101100 형태도 정육면체 자유임을 각각 증명한다. 두 정리의 증명 과정에서는 겹침이 발생할 경우의 수를 꼼꼼히 분석하고, Lemma 4와 Lemma 5를 이용해 가능한 주기(p)의 범위를 제한한다. 결과적으로, 임의의 n에 대해 길이 2n인 정육면체 자유 이진 제곱이 존재함을 Theorem 1이 확립한다. 다음 단계에서는 제곱의 개수를 지수적으로 늘리는 방법을 제시한다. Proposition 8에서는 3문자 알파벳 위에서 정육면체 자유 제곱 xx를 선택하고, 0을 2로 교체하는 방식으로 새로운 정육면체 자유 제곱 yy를 만든다. 그런 다음 균일 변환 h(0→001011, 1→001101, 2→011001)를 적용하면, 길이 12m인 이진 제곱이 최소 2^{m/2}개 생성된다. 이는 제곱의 수가 입력 길이에 대해 지수적으로 성장함을 의미한다. Theorem 2의 증명에서는 위에서 만든 제곱 집합 S를 이용한다. 임의의 정육면체 자유 2문자 알파벳 문자열 x (알파벳 {2,3})와 S의 원소들을 교차 삽입해 w = x₁S₁x₂S₂… 형태의 무한 문자열을 만든다. 이후 균일 변환 g(0→001001101, 1→001010011, 2→001101011, 3→011001011)를 적용하면, g(w)는 정육면체 자유이며, 삽입된 S의 제곱들 때문에 길이 n인 서로 다른 제곱이 지수적으로 늘어난다. 따라서 무한히 긴 정육면체 자유 이진 단어가 지수적 팩터 복잡성을 가짐을 보인다. 마지막으로, 정육면체 자유뿐 아니라 제곱 자유 문자열에 대해서도 동일한 기법을 적용할 수 있음을 Proposition 9에서 언급한다. 여기서는 3문자 알파벳 위의 제곱 자유 무한 문자열 w와 2문자 알파벳 위의 고복잡도 문자열 x를 교차 섞어 y를 만든 뒤, 균일 변환 f를 적용해 제곱 자유이면서 지수적 팩터 복잡성을 가진 무한 문자열을 얻는다. 전체적으로 논문은 Thue–Morse 구조와 균일 변환을 결합해 기존 D0L 기반 제한을 뛰어넘는 새로운 무한 정육면체 자유 이진 단어를 구성하고, 그 복잡도 특성을 정량화함으로써 조합 단어 이론에 중요한 기여를 한다.