디제인 추측이 n이 30 이상에서 성립

본 논문은 Dejean 추측의 남은 미해결 구간을 메우기 위해 Carpi가 제시한 ψ‑kernel 반복 회피 기법을 정교화한다. 먼저, n≥30인 경우 m=⌊(n‑3)/6⌋를 정의하고, Aₘ={1,…,m} 위에서 ψ‑kernel을 “각 기호 a에 대해 등장 횟수가 4의 배수인 문자열”로 설정한다. ψ‑kernel 반복은 주기 q를 갖는 문자열 v가 앞부분 v′(길이 q)가 ψ‑kernel에 속하고 (n‑1)(|v|+1)≥nq‑3을 만족할 때 발생한다. Carpi는 m=5일 때 종이 접기 구조를 이용해 ψ‑kernel 반복이 없는 무한 단어를 만들었고, 이를 통해 n≥33에 대해 Dejean 추측을 증명했다. 저자들은 m=4인 경우에도 같은 전략이 가능함을 보이기 위해 새로운 모핑 f를 도입한다. f는 네 개의 심볼에 대해 다음과 같이 정의된다: f(1)=121, f(2)=123, f(3)=141, f(4)=142. 이 모핑의 빈도 행렬은 4에 대해 가역이며, 이는 f가 생성하는 문자열이 ψ‑kernel에 속하는 접두사를 충분히 많이 포함한다는 중요한 성질을 제공한다. 논문은 두 가지 핵심 검증 조건을 제시한다. 첫 번째 조건(R1)은 무한 단어 w가 ψ‑kernel 반복을 전혀 포함하지 않는다는 것이며, 두 번째 조건(R2)은 w가 어떤 부분 문자열 v에 대해 |v|/q≥35/34를 만족하지 않는다는 것이다. 특히 q가 1967 이상일 때는 더 강한 부등식 |v|/q<35/34+9/(2·1966) 가 성립한다. R1과 R2는 컴퓨터 탐색과 수학적 귀납법을 결합해 증명된다. q≤1966인 경우는 직접 열거하여 모든 가능한 팩터를 검사하고, q≥1967인 경우는 Lemma 2와 Theorem 3을 이용한다. Lemma 2는 q가 1966·(3s) 구간에 있을 때 |v|/q에 대한 상한을 제공하고, 이를 통해 |v|/q가 35/34를 초과할 수 없음을 보인다. Theorem 3은 Lemma 2의 결과를 이용해 전체 q에 대해 R2를 만족함을 증명한다. 구체적인 컴퓨터 검증은 부록에 상세히 기술되어 있다. 저자들은 f⁷(u₀) (길이 24 057)와 같은 문자열을 생성하고, 그 안에 포함된 모든 길이 2와 3의 팩터를 exhaustive하게 검사했다. 이 과정에서 R1과 R2가 모두 만족함을 확인하였다. 결과적으로, ψ‑kernel 반복이 없고 R2를 만족하는 무한 단어 w가 A₄ 위에 존재함을 보였으며, Carpi의 일반 이론에 따라 이는 n=30,31,32에 대해서도 Dejean 추측이 성립함을 의미한다. 기존에 n=5,…,29에 대해서는 Moulin‑Ollagnier, Mohammad‑Noori·Currie, 그리고 Carpi가 각각 증명했으므로, 이제 Dejean 추측은 모든 n≥2에 대해 완전하게 입증된 셈이다. 이 연구는 ψ‑kernel 회피 기법을 더 작은 알파벳으로 확장함으로써, 반복 임계값 문제에 대한 이해를 한 단계 끌어올렸다.