구면 이거리 집합의 최대 크기와 새로운 상한

본 논문은 n 차원 유클리드 공간 ℝⁿ의 단위 구면 S^{n−1} 위에 놓인 점들의 집합 S가 두 개의 서로 다른 내적값 a와 b(−1 ≤ a,b < 1)만을 가질 때, 즉 구면 두거리 집합(spherical two‑distance set)이라 할 때 가능한 최대 원소 수 g(n)을 연구한다. 기존에 Delsarte‑Goethals‑Seidel가 제시한 상한 g(n) ≤ n(n+3)/2 와, 정규 단순체 Δ_n의 변의 중점 집합 Λ_n이 n(n+1)/2 개의 점을 제공함으로써 얻는 하한 L(n)=n(n+1)/2 가 알려져 있었다. 저자는 a + b ≥ 0와 a + b < 0 두 경우를 구분해 각각 새로운 상한을 도출한다. 1. **a + b ≥ 0인 경우** - 다항식 방법을 사용한다. F(t) = (t−a)(t−b)/(1−a)(1−b) 라는 2차 다항식을 정의하고, 각 점 x_i∈S에 대해 f_i(x)=F_{x_i}(x) 를 만든다. - f_i(x_j)=δ_{ij} 이므로 {f_i}는 서로 직교하고 선형 독립이다. - 또한 L_k(x)=⟨x,e_k⟩ (k=1,…,n) 로 정의한 1차 다항식도 독립이며, a + b ≥ 0이면 {f_i}∪{L_k} 전체가 선형 독립임을 귀류법으로 증명한다. - 전체 차원은 구면 위 2차 다항식 공간의 차원 n(n+3)/2 이므로 m+ n ≤ n(n+3)/2, 즉 |S|=m ≤ n(n+1)/2 가 된다. - Λ_n(정규 단순체의 변 중점) 은 a + b ≥ 0를 만족하고 정확히 n(n+1)/2 개의 점을 제공하므로, ρ(n)=n(n+1)/2 가 a + b ≥ 0인 경우의 정확한 상한임을 확인한다. 2. **a + b < 0인 경우** - Delsarte의 선형계획법을 적용한다. Gegenbauer 다항식 G_n^{(k)}(t) 를 이용해 비음수 계수를 갖는 다항식 f(t)=∑ f_k G_n^{(k)}(t) 를 구성한다. - f(t) ≤ 0 (t∈{a,b}) 와 f_0>0 를 만족하도록 다섯 종류의 후보 다항식 P_i(t) (i=1…5)를 만든다. 각 P_i는 (a,b) 쌍에 따라 정의되며, 계수가 모두 비음수이고 f_0>0 인 영역 D_i(n) 를 구한다. - 각 i에 대해 상한 U_i(n;a,b)=P_i(1)/f_0 를 정의하고, 최종 상한 Q(n)_k(a)=min_i R_i(n)_k(a) (R_i는 a와 b_k(a) 사이의 변환을 적용) 를 얻는다. 여기서 b_k(a)=k a−1/(k−1) 은 Larman‑Rogers‑Seidel가 제시한 거리 비율 (k−1)/k 에 대응한다. - 가능한 k는 2 ≤ k ≤ K(n)=⌊1+√(2n²)⌋ 로 제한된다. 각 n에 대해 모든 k와 a∈I_k=