Pareto형 분포 극값의 분위수와 다변량 모멘트 확장

본 논문은 “Pareto형” 꼬리를 가진 연속 확률분포 \(F\) 에 대해, 표본 크기 \(n\) 의 극값(order statistic)들의 분위수와 다변량 모멘트를 정밀하게 전개하는 이론을 전개한다. 1. **문제 설정 및 배경** - 표본 \(X_1,\dots,X_n\) 의 \(r\)번째 큰 값 \(X_{n,r}\) 를 고려한다. - 꼬리함수는 \(1-F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}c_i x^{-\alpha-i\beta}\) (\(\alpha,\beta>0\)) 로 가정한다. 이는 전통적인 Pareto 꼬리(\(1-F(x)\sim c_0 x^{-\alpha}\)) 를 일반화한 형태이며, 실제 데이터에서 종종 관찰되는 다중 지수 감소를 포착한다. - 기존 연구는 주로 극값의 한계분포(극값 이론)와 1차 근사에 머물렀으며, 고차 모멘트나 다변량 구조에 대한 명시적 전개는 부족했다. 2. **역전환 정리와 분위수 전개** - 부록 A에서 제시된 역전환 정리(Theorem A.1)는 꼬리 전개식(1.5)와 분위수 전개식(1.4) 사이의 정확한 변환 관계를 제공한다. - 이를 이용해 분위수 함수 \(G(u)=F^{-1}(u)\) 를 \