극값 클러스터 크기 분포 추정 및 극지수 추정법

본 논문은 정Stationary 시계열에서 고임계값을 초과하는 관측치가 클러스터를 형성한다는 사실을 바탕으로, 이러한 클러스터 구조를 복합 포아송 과정으로 모델링한다. 복합 포아송 과정은 포아송 점(클러스터 위치)과 그 점에 할당된 다중성(클러스터 크기)으로 구성되며, 클러스터 크기 분포 π와 극지수 θ가 핵심 파라미터이다. 1. **모델 설정 및 이론적 배경** - (X_n)을 엄격히 정상적인 시계열이라 두고, 임계값 u_n(τ)=F←(1−τ/n)를 정의한다. - 시간 정규화 초과점 프로세스 N(τ)_n(B)=∑_{i=1}^n 1_{i/n∈B, X_i>u_n(τ)}를 도입한다. - 장거리 의존성 조건 Δ(u_n(τ))가 성립하면 N(τ)_n은 강도 θτ를 갖는 동질 복합 포아송 과정 N(τ)_E로 수렴한다. 여기서 N(τ)_E=∑_{i=1}^{η(θτ)} ζ_i, η~Poisson(θτ), ζ_i~π 독립. 2. **추정량 설계** - **블록 디클러스터링**: 관측치를 길이 r_n인 블록 I_j로 나누고, 각 블록 내 초과 횟수 N_{r_n,j}=∑_{i∈I_j}1_{X_i>u_{r_n}(τ)}를 계산한다. - **임계값 추정**: û_{r_n}(τ)=X_{k_n r_n−⌊k_n τ⌋:k_n r_n}와 같이 데이터의 순위로 대체한다. - **초과 횟수 분포 추정**: p̂(τ)_n(m)=k_n^{-1}∑_{j=1}^{k_n}1_{N̂_{r_n,j}=m} (m≥0) 로 경험적 분포를 얻는다. - **클러스터 크기 분포 역산**: Panjer의 재귀식 p(τ)(m)=−ln p(τ)(0)·(1/m)∑_{j=1}^m jπ(j)p(τ)(m−j) 를 역으로 적용한다. 이를 통해 π̂(m)=max{0, min