분산 알고리즘으로 숲의 프로세스 번호 계산 및 업데이트

논문은 먼저 트리와 숲에서 경로폭(pathwidth)과 관련된 여러 파라미터—프로세스 번호(pn), 엣지 서치 번호(es), 노드 서치 번호(ns)—를 소개하고, 이들 사이의 이론적 관계를 정리한다. 기존 연구에서는 중앙집중형 선형 시간 알고리즘만 존재했으며, 동적 혹은 분산 알고리즘은 부재했다. 본 연구는 트리를 “연관 트리(associated‑tree)”와 “계층적 분해”라는 두 단계 구조로 나눈다. 연관 트리는 루트와 그 루트가 포함된 서브트리 집합으로 정의되며, 안정(stable)과 불안정(unstable) 두 종류가 있다. 안정 트리는 최적 프로세스 전략에서 마지막(또는 첫 번째) 에이전트가 루트에 위치하거나, ≤2 에이전트 전략으로 루트를 마무리할 수 있는 경우이며, 불안정 트리는 그렇지 않은 경우이다. 각 연관 트리의 상태와 최소 에이전트 수는 벡터 (pn, pn⁺) 로 표현되며, pn⁺ 은 pn 또는 pn + 1이다. 노드 v 는 자신이 루트인 연관 트리와 그 하위 불안정 트리들의 벡터를 테이블 t_v 에 저장한다. 테이블의 길이 L(t) 은 현재 노드가 포함하는 가장 큰 pn 값이며, 각 셀 t