교차 검증 예측밀도 기반 선형 모델 선택의 점근 최적성

이 논문은 선형 회귀 모델군에서 교차 검증(Cross‑Validation) 기반 예측밀도를 이용한 모델 선택 기준이 예측 손실 측면에서 점근적으로 최적임을 증명한다. 연구 배경은 관측값 y와 설계행렬 X가 주어졌을 때, 변수 선택에 의해 정의된 여러 부분 모델 α∈Aₙ을 고려한다는 점이다. 각 모델 α는 y∼N(μ(α)=X(α)β(α), σ²I) 이라는 정규선형 구조를 갖는다. 비주관적 사전 π(β) 또는 π(β,σ²) 를 사용해 사후분포를 구하고, 훈련 샘플(데이터의 일부)로부터 검증 샘플을 예측하는 교차 검증 예측밀도 f_α(y_{val}|y_{train}) 를 정의한다. 다양한 훈련‑검증 분할에 대해 기하 평균을 취한 로그값을 CV(α) 라 두고, 이를 최대화하는 모델 \hatαₙ을 선택한다. 선택된 모델에 대해 최소제곱 추정 \hatβ(α) 를 사용해 미래 복제 y_new 의 예측값 δ(y_n)=X(α)\hatβ(α) 를 만든다. 예측 성능은 제곱오차 손실 E_μ