부치 게임을 위한 새로운 알고리즘

이 논문은 두 명의 플레이어가 번갈아가며 토큰을 이동시키는 전형적인 부치(Büchi) 게임을 해결하기 위한 새로운 알고리즘을 제시한다. 부치 게임은 무한 경로에서 특정 상태 집합 B를 무한히 많이 방문하는지를 판정하는 문제이며, 전통적으로 O(n·m) 시간 복잡도를 갖는 고전적인 반복 알고리즘이 사용되어 왔다. 여기서 n은 상태 수, m은 간선 수이다. 고전 알고리즘은 매 반복마다 현재 부치 상태 집합 Bᵢ에 대해 역방향 탐색을 수행해 도달 가능한 상태 Rᵢ=Attr₁(Bᵢ)를 구하고, 그 보완 집합 Tᵣᵢ=Sᵢ\Rᵢ를 폐쇄 집합으로 식별한 뒤, 플레이어 2의 어트랙터 Attr₂(Tᵣᵢ)를 계산해 승리 영역에 추가한다. 이 과정이 최대 n번 반복되므로 최악의 경우 O(n·m) 시간이 소요된다. 첫 번째 제안 알고리즘은 “대체 알고리즘”이라 불리며, 고전 알고리즘과 동일한 반복 구조를 유지하면서도 Tᵣᵢ를 찾는 방식을 바꾼다. 구체적으로, 현재 부치 집합 Bᵢ와 그 보완 집합 Cᵢ=Sᵢ\Bᵢ를 정의하고, Cᵢ 안에서 플레이어 1이 모든 후속을 Cᵢ 안에 두는 상태 Cᵢ¹와, 플레이어 2가 적어도 하나의 후속을 Cᵢ 안에 두는 상태 Cᵢ²를 구한다. 이후 Cᵢ¹∪Cᵢ²에 대한 플레이어 2의 어트랙터 Xᵢ=Attr₂(Cᵢ¹∪Cᵢ²)를 계산하고, 이를 Cᵢ와 교집합해 Zᵢ=Xᵢ∩Cᵢ를 만든다. Zᵢ 안에서 플레이어 1이 한 번에 탈출할 수 있는 상태 Dᵢ를 정의하고, Dᵢ에 대한 플레이어 1의 어트랙터 Lᵢ=Attr₁(Dᵢ, Gᵢ↾Xᵢ)를 구한다. 최종적으로 cTᵣᵢ=Zᵢ\Lᵢ를 폐쇄 집합으로 인정하고, 플레이어 2의 어트랙터 Attr₂(cTᵣᵢ) 를 계산해 승리 영역에 추가한다. 이 알고리즘은 각 단계에서 전체 그래프가 아니라 Cᵢ에 제한된 전방·역방향 탐색을 수행하므로, 추가 작업량이 O(m) 를 넘지 않는다. 특히 차수가 2인 무한히 많은 그래프에 대해 전체 실행 시간이 O(n) 로 감소한다는 정리를 제시한다. 또한, 최악의 경우에도 O(n·m) 를 초과하지 않으며, 기존 알고리즘보다 현저히 적은 반복 횟수와 탐색 범위로 효율성을 입증한다. 두 번째 알고리즘은 그래프의 최대 차수 δ(n)을 파라미터로 활용한다. 기존 연구