다중기준 의사결정을 위한 구간 척도와 차이 척도에 기반한 Choquet 적분 모델

본 논문은 다중기준 의사결정(MCDM)에서 의사결정자(DM)의 선호를 정량화하기 위해 두 단계의 모델링을 제안한다. 첫 번째 단계는 각 속성 X_i에 대해 차이 척도 u_i를 구축하는 것이며, 두 번째 단계는 이러한 u_i들을 하나의 전반적 효용 u에 집계하는 함수 F를 정의하는 것이다. 기존의 MacBeth 접근법은 차이 척도를 이용해 u_i를 만들고, 이를 가중합 형태의 F와 결합한다. 그러나 가중합은 기준 간 상호작용을 반영하지 못한다는 한계가 있다. 저자는 이를 극복하기 위해 다음과 같은 정보를 DM에게 요구한다. 1. **절대 기준점 0_i와 1_i**: 각 속성 i에 대해 최악(0_i)과 최상(1_i) 상황을 명시한다. 이는 모든 속성에 대해 동일한 의미를 갖는 절대값이며, u_i(0_i)=0, u_i(1_i)=1을 보장한다. 2. **Intra‑criterion 차이 정보**: DM은 (x_i,0_{‑i})와 (y_i,0_{‑i}) 사이의 만족도 차이를 정량화한다. 이를 통해 u_i는 차이 척도로 정의되며, (Intra‑a)~(Intra‑d) 조건을 통해 순위 보존, 비례 차이, 그리고 차이 비율의 전이성을 만족한다. 3. **Inter‑criterion 집합 정보**: 모든 부분집합 A⊆N에 대해 대안 (1_A,0_{‑A})와 (0_N) 사이의 만족도 차이를 측정한다. 이를 µ(A)라 두고, µ는 모노톤성(Inter‑a), 차이 비례(Inter‑b), 경계값 µ(∅)=0, µ(N)=1(Inter‑c)을 만족한다. 또한 (Inter‑d) 조건으로 차이 비율의 일관성을 확보한다. 4. **측정 불변성**: u_i와 µ는 각각 α>0, β∈ℝ, γ∈ℝ에 대한 선형 변환(αu_i+β)와 스칼라 변환(γµ)에도 선호 관계와 비율 차이가 변하지 않아야 한다는 (Intra‑e)와(Inter‑e) 조건을 둔다. 이는 차이 척도와 비율 척도의 핵심 특성이다. 이러한 가정 하에, 전체 효용은 u(x)=F_µ(u₁(x₁),…,uₙ(xₙ)) 형태로 표현된다. 저자는 먼저 F_µ가 동일한 입력에 대해 동일한 출력(동질성)인 F_µ(β,…,β)=β를 만족해야 함을 보인다. µ(N)=1인 경우는 정규화된 상황이며, µ(N)≠1인 경우는 µ가 전체 효용 스케일을 확대/축소하는 역할을 한다는 (5) 식을 도출한다. 핵심 정리는 Lemma 1이다. Lemma 1은 임의의 실수 α,β,γ와 임의의 a_i,b_i,c_i,d_i∈