그래프 기반 접근으로 본 Max2Sat 새로운 상한

본 논문은 NP‑완전 문제인 Max‑2‑Sat의 정확 알고리즘에 대해 새로운 시간 상한을 제시한다. Max‑2‑Sat은 각 절이 최대 두 개의 리터럴을 포함하는 부울식의 만족 가능한 절 수를 최대로 하는 최적화 문제이며, 최대 절 수 K 를 파라미터로 하는 O\*(2^{c·K}) 형태의 알고리즘이 널리 연구되어 왔다. 기존 최선 기록은 Kulikov·Kutzov가 제시한 O\*(2^{K/5.88}) 이며, 이는 비표준 가중치 측정과 다항 공간을 사용한 접근법에 기반한다. 저자들은 먼저 Max‑2‑Sat 인스턴스를 변수‑그래프 G₍var₎ (정점 V = 변수 집합, 간선 E = 2‑절에 공동 등장하는 변수 쌍)로 변환한다. 이 그래프는 다중 그래프이며, 1‑절은 무시한다. 각 정점 v 에 대해 #₂(v) (2‑절에 등장 횟수)를 정의하고, 이를 기반으로 d_i(F) = #₂(v)=i 인 변수의 개수를 구한다. 핵심 측정 함수 γ(F) 는 γ(F) = ∑_{i≥3} ω_i·d_i(F) 이며, 가중치 ω₃≈0.94165, ω₄≈1.80315, ω_i=i² (i≥5) 로 설정한다. 이 함수는 언제나 K 보다 작거나 같으며, γ(F) 가 감소하면 알고리즘의 진행이 보장된다. 다음으로 저자들은 다섯 개의 감소 규칙(RR‑1~RR‑5)을 정리한다. RR‑1은 상충하는 리터럴을 포함한 2‑절을 제거하고, RR‑2는 상보적인 절을 단순화한다. RR‑3·RR‑4는 순수 리터럴을 즉시 할당하며, RR‑5는 “동반자(companion)” 관계에 있는 변수 쌍을 이용해 대체·설정 작업을 수행한다. 이러한 규칙을 순차적으로 적용해 더 이상 적용할 수 없을 때를 “축소된(formula) reduced” 상태라 정의한다. 축소된 상태에서 알고리즘은 재귀적으로 변수 v 를 선택해 두 개의 서브인스턴스 F