삼각형 펙 솔리테어 무한 스윕

이 논문은 삼각형 격자 형태의 펙 솔리테어 게임을 대상으로, 한 말이 남은 모든 말을 연속 점프로 제거하는 “스윕” 현상의 극한을 탐구한다. 먼저 T(n) 보드, 즉 변의 길이가 n인 정삼각형 격자를 정의하고, 각 구멍을 a1, a2, b2 등으로 표기하는 좌표 체계를 제시한다. 게임 규칙은 전통적인 펙 솔리테어와 동일하게, 하나의 구멍에 빈 공간을 두고 인접한 말을 뛰어넘어 빈 구멍으로 이동시키며 뛰어넘은 말을 제거한다. 여기서 연속 점프를 하나의 “이동”으로 간주하고, 여러 점프를 포함하는 경우를 “i‑스윕”이라고 부른다. 논문은 먼저 홀수 변 보드에서 가능한 최대 스윕 패턴을 분석한다. 그래프 이론의 오일러 정리를 이용해, 모든 정점의 차수가 짝수인 경우에는 시작과 끝이 동일한 폐회로가 존재함을 보인다. 따라서 n이 홀수일 때는 보드 전체를 커버하는 최대 스윕이 존재한다. 그러나 이러한 스윕 패턴의 보완 상태에서는 어떠한 점프도 불가능하므로, 전방‑후방 정리(Forward/Backward Theorem)에 의해 실제 게임 중에 이 패턴을 최종 이동으로 사용할 수 없음을 증명한다. 다음으로 짝수 변 보드, 특히 T(6)과 T(8)에서 최대 스윕을 실제 솔루션의 마지막 수로 구현하는 방법을 제시한다. 여기서는 먼저 스윕 패턴의 보완 상태에서 역방향으로 플레이하여 가능한 초기 공백(예: c5)을 찾는다. 그런 다음 역방향 솔루션을 뒤집어 정방향으로 재구성하면, 마지막에 원하는 길이의 스윕이 등장한다. T(6)에서는 9‑스윕을 9수의 최소 이동으로 달성했으며, 이는 1975년 Harry O. Davis가 발견한 해와 동일하다. T(8)에서는 18‑스윕을 15수(최소는 14수)로 구현했지만, 최소 이동 수와 최대 스윕 길이는 동시에 최적화되지 않을 수 있음을 보여준다. 보드 크기가 커질수록 최대 스윕을 직접 구현하는 것이 불가능해진다. 저자는 T(12)에서 42‑스윕을 성공적으로 만든 뒤, 이를 두 개의 구성 요소 A와 B로 분리한다. 구성 요소 A는 기존의 42‑스윕 패턴이며, B는 A 아래에 추가된 부분으로, 두 구성 요소를 적절히 연결하면 더 큰 보드에서도 스윕을 연장할 수 있다. 구체적으로, A와 B를 수직으로 정렬하고, B의 U‑형 움직임을 반대 방향으로 배치함으로써 전체 스윕이 a1에서 a3까지 이어지는 형태를 만든다. 이 과정을 반복하면 T(24), T(36), … 등 변이 12의 배수인 보드에서 각각 191‑스윕, 448‑스윕 등을 얻을 수 있다. 일반적으로 T(12i) 보드에서는 길이 54i²‑13i+1의 스윕을 만들 수 있으며, 이는 보드 전체 구멍 수 72i²+6i에 대해 약 75%에 해당하는 말을 한 번에 제거한다. 또한 전체 정방향 솔루션의 점프 수는 18i²+19i‑3이며, 몇몇 점프를 재배열하면 18i²+14i‑3으로 감소시킬 수 있다. 마지막으로 최소 이동 수 문제에 대한 전산 탐색 결과를 제시한다. 1966년 Harry O. Davis가 T(5) 보드에 대해 최소 10수 해를 증명한 뒤, 저자는 T(6)부터 T(7)까지 모든 시작‑공백 조합을 완전 탐색하였다. 결과는 표 2에 정리되어 있으며, T(5)에서는 12개의 해가 존재하고 그 중 2개는 9수, 6개는 10수, 4개는 11수로 해결된다. T(6)에서는 전체 문제의 절반 이상이 9수 안에 해결 가능함을 보여, 평균적으로 T(5)보다 더 짧은 해결이 가능함을 확인한다. 이러한 데이터는 삼각형 보드에서 최소 이동 수 문제에 대한 기존 연구가 거의 없던 상황에서 중요한 기초 자료를 제공한다. 결론적으로, 논문은 삼각형 펙 솔리테어에서 스윕과 최소 이동 수라는 두 핵심 주제를 동시에 다루며, 작은 보드에서는 최대 스윕을 최적 이동 수와 함께 구현하고, 큰 보드에서는 귀납적 구성법을 통해 거의 최대에 가까운 긴 스윕을 설계할 수 있음을 증명한다. 이 연구는 퍼즐 이론, 그래프 이론, 그리고 컴퓨터 탐색 기법을 융합한 사례로, 향후 더 복잡한 격자 퍼즐이나 최적화 문제에 적용될 가능성을 시사한다.