6차원 이하 모든 큐브 타일링은 반드시 컬럼을 포함한다

본 논문은 “Keller’s Conjecture on the Existence of Columns in Cube Tilings of ℝⁿ”이라는 제목 아래, n≤6인 경우 모든 단위 큐브의 평행 이동 타일링이 반드시 컬럼을 포함한다는 명제를 증명한다. 서론에서는 1907년 Minkowski가 격자 타일링에 대해 (n‑1)‑차원 면을 공유하는 두 큐브가 존재함을 보였고, 이를 바탕으로 Keller가 1930년에 일반적인 큐브 타일링에 대해 같은 현상이 성립한다는 약한 추측과, 더 강하게 “컬럼이 존재한다”는 추측을 제시했음을 언급한다. 이후 1937년 Keller가 n≤6에 대해 증명을 시도했으나 상세 증명이 부족했고, 1940년 Perron이 약한 형태를 n≤6까지 완전 증명했음을 정리한다. 최근 1992년 Lagarias와 Shor, 2000년 Mackey가 차원 8,10에서 반례를 발견해 두 추측이 7차원 이상에서는 성립하지 않음을 보여준다. 논문의 핵심은 n≤6까지 강한 형태를 증명하는 것으로, 이를 위해 다음과 같은 정의와 도구를 도입한다. 1. **큐브와 타일링**: