그레이엄 스케줄과 숫자 분할 문제의 새로운 연결 고리

본 논문은 두 독립적인 연구 분야인 숫자 분할 문제(NPP)와 두 프로세서 스케줄링(2PS)이 사실상 동일한 최적화 목표를 가진다는 점을 명확히 하고, 이를 기반으로 그레이엄의 LPT(Longest Processing Time) 스케줄에 대한 새로운 경계들을 제시한다. 1. **문제 정의와 등가성 증명** - NPP: 양의 정수 집합 K={t₁,…,t_n}을 두 부분집합 K₁, K₂로 나누어 |S(K₁)−S(K₂)|를 최소화한다. - 2PS: 동일한 작업 집합을 두 개의 동일 속도 프로세서에 할당해 전체 완료 시간(makespan)을 최소화한다. - 저자는 최적 해 A₁,A₂ (NPP)와 B₁,B₂ (2PS)를 각각 정렬하고, 전체 합이 동일함을 이용해 S(A₁)=S(B₁), S(A₂)=S(B₂)임을 보이며 두 문제의 최적 해가 일치함을 증명한다. 이 증명은 기존에 암묵적으로 알려졌던 사실을 명시적으로 정리한 것으로, 문제 전환을 통해 기존 스케줄링 이론을 NPP에 바로 적용할 수 있음을 보여준다. 2. **기존 경계와 그 한계** - 그레이엄(1969)은 C_G/C_O ≤ 7/6 라는 사전(a priori) 경계를 제시했으며, 이는 작업 수와 무관하게 항상 성립한다. - 코프먼·세티(1976)는 최종 프로세서에 할당된 작업 수 k를 이용해 C_G/C_O ≤ 1+1/k−1/(2k) 라는 사후(a posteriori) 경계를 제시했다. 이 경계는 실제 스케줄을 관찰해야 적용 가능하다. 3. **새로운 사전 경계(Theorem 3)** - 저자는 LPT 스케줄에서 마지막으로 완료되는 작업 J_L의 인덱스 L을 사용해 M=⌈L/2⌉를 정의한다. - 복잡한 다항식 P=24M³/(7+12M+24M²)를 도입해 \