그래프 이론으로 보는 코드 상한의 통합 프레임워크

** 본 논문은 코딩 이론에서 가장 기본적인 두 양, 즉 주어진 길이와 최소 해밍 거리 조건을 만족하는 코드의 최대 크기 \(A_q(n,d)\)와, 이진 상수 가중치 코드의 최대 크기 \(A(n,d,w)\)에 대한 여러 알려진 상한들을 그래프 이론적 관점에서 통합적으로 재해석한다. 첫 번째 단계에서는 Hamming 그래프 \(H_q(n,d)\)를 정의한다. 정점은 모든 \(q\)-진법 길이 \(n\) 문자열이며, 두 정점이 인접하는 조건은 그들의 해밍 거리가 \(d\) 이상이라는 것이다. 이 그래프는 \(\mathbb{Z}_q^n\) 위의 카일리 그래프 형태로 표현될 수 있음을 보이며, 카일리 그래프는 자동동형군이 전이(transitive)하므로 정점 전이 그래프라는 중요한 성질을 갖는다. 정점 전이 그래프에 대해 알려진 정리 \(\alpha(G)\,\omega(G)\le |V(G)|\)를 적용하면, 코드의 최대 클리크 수 \(\omega(H_q(n,d))\)와 안티코드의 최대 독립 집합 수 \(\alpha(H_q(n,d))\) 사이에 직접적인 부등식이 도출된다. 여기서 \(\alpha(H_q(n,d))\)는 최소 거리 \(d\) 이하인 문자열들의 최대 집합, 즉 \(N_q(n,t)\)와 동일함을 보이며, \(t=n-d+1\) 로 정의한다. 이 관계를 이용해 먼저 Singleton 상한을 간단히 재증명한다. \(t=n-d+1\)인 경우, 모든 문자열이 앞 \(t\)자리에서 동일한 값을 갖는 집합 \(T(n,t)\)가 \(\alpha\)의 하한이 되므로 \(\omega\le q^{n-t}=q^{d-1}\)이 된다. 이어서 Hamming 상한은 구 \(B(n,r)=\{x\mid wt(x)\le r\}\)의 크기를 이용해 \(\alpha\ge |B(n,\lfloor(d-1)/2\rfloor)|\)를 얻고, 이를 \(\alpha\omega\le q^n\)에 대입해 전통적인 구체적 부등식을 얻는다. 비이진 알파벳(\(q\ge3\))에 대해서는 기존의 Erdős‑Ko‑Rado 정리와 Diametric 정리를 활용해 \(\alpha\)의 정확한 값을 구하거나, 특정 파라미터 구간에서 최대 안티코드가 트리비얼 집합이 아니라는 점을 이용한다. 그 결과 식 (3)과 (4)와 같은 새로운 상한식을 도출한다. 특히 식 (3)은 \(r=\lfloor\min\{(n-t)/2,\;t-1/(q-2)\}\rfloor\) 로 정의된 파라미터를 사용해 기존 Singleton 상한을 일반화하고, 식 (4)는 \(d\)가 홀수이고 \(n\)이 일정 범위 내에 있을 때 Hamming 상한보다 더 강력한 제한을 제공한다. 다음으로 상수 가중치 코드에 대해 그래프 \(K(n,2\delta,w)\)를 정의한다. 정점은 무게 \(w\)인 이진 문자열이며, 두 정점이 인접하는 조건은 \(|P\cap Q|\le w-\delta\) (여기서 \(P,Q\)는 1의 위치 집합)이다. 이 그래프 역시 정점 전이성을 갖고, Bassalygo‑Elias 부등식은 \(\omega(K)\)와 \(\alpha(\overline{K})\) 사이의 관계를 통해 간단히 도출된다. 또한 새로운 부등식 (5)와 (6)은 그래프 동형사상 \(\phi\)를 이용해 한 가중치 코드를 다른 가중치 코드에 매핑함으로써 얻어진다. 기존에 알려진 Johnson 부등식 (7), (8)은 동일한 방법으로 재증명된다. 이후 이중 가중치 코드(두 구간에 각각 고정된 무게를 갖는 코드)로 확장한다. 길이 \(n=n_1+n_2\), 무게 \(w=w_1+w_2\)인 코드에서 첫 번째 구간에 정확히 \(w_1\)개의 1이 존재하도록 제한한다. 이를 두 개의 Hamming 그래프와 연결시켜 복합적인 상한식 (11), (12)를 얻는다. 특히 (12)는 기존 문헌에 없던 새로운 부등식이며, 기존에 알려진 \(T(w_1,n_1,w_2,n_2,d)\)에 대한 여러 상한과 결합해 보다 정밀한 제한을 제공한다. 마지막으로, 그래프 이론을 이용해 \(N_q(n,1)\)와 Hamming 그래프의 색채수 \(\chi(H_q(n,d))\)를 계산하고, Lovász 상한 \(v(G)\)와 영오류 용량 \(\Theta(G)\) 사이의 관계를 탐구한다. 특히 완전 코드와 MDS 코드가 존재하는 경우에 한해 \(v(G)=\Theta(G)\)가 성립함을 보이며, 이는 기존에 제기된 “\(v(G)=\Theta(G)\)인 그래프 찾기” 문제에 대한 부분적인 해답을 제공한다. 결론적으로, 논문은 코드와 안티코드 문제를 정점 전이 그래프의 클리크·독립 집합 문제로 변환하고, 카일리 그래프와 조합적 교차 정리를 활용해 기존 상한들을 간결히 재현함과 동시에 새로운 상한을 도출하는 통합 프레임워크를 제시한다. 이는 향후 코드 설계와 상한 연구에 그래프 이론을 보다 체계적으로 적용할 수 있는 기반을 제공한다. **