색채기하학 삼중 대칭과 유리 삼각법

본 논문은 ‘색채기하학’이라는 새로운 통합 기하학 체계를 제안한다. 서론에서는 삼중 대칭이 물리·수학 전반에 나타나는 현상을 언급하고, 유클리드 기하를 청색, 로렌츠·아인슈타인·미코프스키와 연관된 두 상대론적 기하를 각각 적색·녹색이라 명명한다. 이 세 기하가 동일한 대수적 구조(대칭 이중형) 위에 놓여 서로 보완하고, 기존의 클라인 Erlangen 프로그램을 넘어서는 삼중 군 작용을 보인다고 주장한다. 다음 장에서는 유리 삼각법의 기본 개념을 소개한다. 점은 두 좌표쌍, 직선은 (a:b:c) 형태로 표현하고, 사변 Q(A₁,A₂)와 확산 s(l₁,l₂)를 정의한다. 사변은 내적을 제곱한 형태이며, 확산은 두 내적의 비율로 구한다. 이후 ‘삼중 사변 공식’, ‘피타고라스 정리’, ‘확산 법칙’, ‘교차 법칙’, ‘삼중 확산 공식’ 등 다섯 가지 핵심 정리를 제시하고, 이들이 모든 비특성 2 체에서 성립함을 증명한다. 세 번째 장에서는 색채별 대칭 이중형을 구체화한다. 청색 내적은 x₁x₂ + y₁y₂, 적색은 x₁x₂ − y₁y₂, 녹색은 x₁y₂ + x₂y₁이다. 이들로부터 각각의 사변 Q_b, Q_r, Q_g와 확산 s_b, s_r, s_g를 정의하고, Q_b = Q_r + Q_g, 1/s_b + 1/s_r + 1/s_g = 2와 같은 색채 간 항등식을 도출한다. 이는 사변과 확산이 서로 보완적인 삼각형 면적·각도 정보를 제공함을 의미한다. 다음으로 전통적인 삼각형 중심점(무게중심 G, 고도점 O, 외심 C, 9점원 중심 N)을 색채별로 재정의한다. 청색에서는 기존 유클리드와 동일하게 정의하고, 적색·녹색에서는 각각의 내적에 맞는 ‘적색 고도점 O_r’, ‘녹색 고도점 O_g’, ‘적색 외심 C_r’, ‘녹색 외심 C_g’, ‘적색·녹색 9점원 중심 N_r, N_g’를 만든다. 각 색채 중심점들은 해당 색채 오일러선 위에 정렬되며, 흥미롭게도 서로 다른 색채의 중심점들 사이에도 교차 정렬이 발생한다. 예를 들어 O_b‑C_r‑O_g, C_b‑N_r‑C_g, 그리고 C_r가 O_b와 O_g의 중점, N_r이 C_b와 C_g의 중점이라는 관계가 성립한다. 이러한 정렬은 좌표 계산을 통해 확인되며, 결국 모든 관계가 단순한 대수식으로 귀결된다. 또한 고도선(altitude) 개념을 색채별로 확장한다. 점 A와 직선 l에 대해 청색·적색·녹색 고도선 n_b, n_r, n_g를 정의하고, 이들 사이의 직교 관계를 증명한다. 즉 n_b와 n_r은 녹색 직교, n_r와 n_g는 청색 직교, n_g와 n_b는 적색 직교한다. 이로써 한 점에서 한 직선으로 향하는 세 색상의 고도선이 서로 직교하는 ‘색채 직교 삼각형’ 구조가 형성된다. 마지막으로 반대칭 다항식과 관련된 부록을 제시한다. 색채 기하학에서 등장하는 여러 항등식은 반대칭 다항식의 성질을 이용해 간결히 증명될 수 있음을 보이며, 이는 계산 복잡성을 크게 낮춘다. 논문은 또한 모든 정리가 임의의 체 위에서 성립함을 강조하고, 특히 실수 체에서는 적색·녹색 기하에서 정삼각형이 존재하지 않음(예: 나폴레옹·모릴 정리 부재) 등 특수 현상도 언급한다. 전체적으로 색채기하학은 유리 삼각법을 기반으로 유클리드와 상대론적 기하를 통합하고, 새로운 대칭·정렬 구조를 발견함으로써 기하학 연구에 새로운 방향을 제시한다.