고대 그리스와 현대 수학이 만난 합리적 삼각법

논문은 고대 그리스 기하학의 세 가지 핵심 정리—피타고라스 정리, 삼각형 면적 공식, 헤론·아르키메데스 공식—를 현대적인 대수적 틀로 재해석한다. 저자는 먼저 ‘quadrance(제곱거리)’라는 개념을 도입한다. 이는 선분 위에 그린 정사각형의 면적으로 정의되며, 좌표평면에서는 Q(A,B) = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)² 로 계산된다. 이 정의는 거리 d와의 관계 Q = d² 로 단순히 연결되지만, 실제 계산에서는 √를 사용하지 않으므로 무리수를 피할 수 있다. 특히 체의 특성이 2가 아니면 언제든 정의가 가능하고, 차원에 제한을 받지 않는다. 피타고라스 정리는 기존의 d₁²+d₂²=d₃² 형태를 Q₁+Q₂=Q₃ 로 바로 바꾼다. 이는 두 변이 직각을 이루는 경우, 그 변들의 quadrance 합이 대변의 quadrance와 동일함을 의미한다. 삼각형 면적에 대해서는 전통적인 “½·base·height” 대신, “area² = (base quadrance)·(altitude quadrance)/4” 라는 식을 제시한다. 여기서 altitude quadrance는 해당 높이 선분의 quadrance이다. 이 식은 면적을 구할 때 √를 쓰지 않아도 되며, 계산 과정에서 발생하는 부동소수점 오차를 최소화한다. 헤론·아르키메데스 공식은 더욱 흥미로운 변형을 보인다. 기존의 복잡한 제곱근 연산을 피하고, 16·area² = (Q₁+Q₂+Q₃)² − 2(Q₁²+Q₂²+Q₃²) 로 표현한다. 이 식은 ‘quadrea’라는 새로운 불변량을 정의하며, 삼각형이 퇴화(세 점이 일직선상에 있을 때)하면 quadrea가 0이 된다. 또한, quadrea는 Q₁Q₂Q₃와 면적 사이의 관계를 통해 D = Q₁Q₂Q₃/(4·area²) 로 나타낼 수 있다. ‘spread(스프레드)’는 각도를 대체하는 양으로, 두 직선이 이루는 각의 제곱 사인값에 해당한다. 정의는 s = Q(B,C)/Q(A,C) 로, 점 A를 교점, B를 한 직선 위의 임의 점, C를 다른 직선에 수직으로 내린 발로 잡는다. 이 비율은 선택한 B에 무관하며, 직선 방정식 a₁x+b₁y+c₁=0, a₂x+b₂y+c₂=0 에 대해 s = (a₁b₂−a₂b₁)² /