무작위 방법으로 선형 제약 풀기: 수렴 속도와 조건수의 관계

본 논문은 선형 방정식 및 부등식 시스템을 해결하는 두 가지 전통적인 알고리즘—좌표 하강법과 반복 투영법—을 무작위화하여, 기대값 기준의 선형 수렴률을 전통적인 조건수와 직접 연결시키는 새로운 이론적 프레임워크를 제시한다. 첫 번째 장에서는 양정치 대칭 행렬 \(A\)에 대한 \(Ax=b\) 문제를 다룬다. 좌표 방향 \(e_i\)를 선택할 확률을 \(P\{i=k\}=a_{kk}/\operatorname{tr}A\) 로 두면, 각 반복에서 목적함수 \(f(x)=\frac12x^TAx-b^Tx\) 가 기대값으로 \(\frac{\lambda_{\min}(A)}{\operatorname{tr}A}\) 만큼 감소한다. 이를 통해 기대값 기준의 수렴률이 \