빠른 연산을 위한 중국 나머지 정리 활용

본 논문은 중국 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem, CRT)를 활용한 고속 정수 연산 기법을 두 가지 측면에서 심도 있게 다룬다. 첫 번째는 CRT 표현 사이의 변환, 즉 “벡터 → 정수”와 “정수 → 벡터” 변환을 효율적으로 수행하는 새로운 알고리즘을 제시한다. 전통적인 Garner 알고리즘은 모든 모듈러스 쌍에 대해 확장 유클리드 연산을 수행해야 하므로 O(r²) 복잡도를 가진다. 저자들은 각 모듈러스 m_j에 대해 α_j·m_j + β_j·(m₁·…·m_{j‑1}) = 1 형태의 베주 항등식을 구하고, 이를 이용해 u_i 값을 한 번씩만 계산한다. 구체적으로 u₁ = α₂·α₃·…·α_r (mod m₁), u₂ = β₂·α₃·…·α_r (mod m₂) 등으로 정의하고, 이들 u_i 가 M/m_i 의 역원 역할을 하여 x = Σ x_i·u_i·M/m_i (mod M) 를 바로 얻는다. 이 과정에서 확장 유클리드 연산은 r‑1번만 필요하므로, 대규모 모듈러스 집합을 다루는 실용적인 시스템에서 메모리와 연산량을 크게 절감한다. 두 번째는 확률적 변환 방법이다. 최근 von zur Gathen과 Shparlinski가 제시한 “무작위 선형형식의 GCD” 결과에 기반한다. a₁,…,a_r을 M/m_i 로 두고, 두 개의 무작위 선형형식 S = Σ a_i·s_i, T = Σ a_i·t_i (s_i, t_i는