카르노 카라테오디오 공간의 기하와 미분가능성 및 코에어 공식

본 논문은 $C^{1,\alpha}$(0≤α≤1) 수준의 매끄러운 기저 벡터장으로 정의된 카르노-카라테오디오(CC) 공간의 기하학적 구조와 미분가능성, 그리고 코에어 공식(coarea formula)을 체계적으로 연구한다. 첫 번째 장에서는 Gromov가 제시한 “nilpotentization of vector fields” 정리를 보다 직관적인 방식으로 증명한다. 기존 증명은 복잡한 좌표 변환과 비가역적인 근사 과정을 필요로 했지만, 저자는 로컬 좌표계에서 벡터장을 리프쉴트 흐름으로 전개하고, 그 흐름의 계층 구조를 이용해 원래의 CC 거리와 동형인 계층적 거리 함수를 구성한다. 이 과정에서 $C^{1,\alpha}$ 매끄러움이 핵심적인 역할을 하며, 특히 $\alpha>0$일 때는 오차 항이 $O(r^{1+\alpha})$ 수준으로 수렴한다는 정량적 추정이 가능해진다. 두 번째 장에서는 두 개의 서로 다른 지역 카르노 군 $G_1$과 $G_2$ 사이의 기하학적 비교를 수행한다. 각 군은 동일한 차원 $Q$와 동일한 수평 차원 $m$을 갖지만, 기저 벡터장의 구체적 형태가 다를 수 있다. 저자는 각 군의 수평 기저 $\{X_{i,1},\dots,X_{i,m}\}$를 선택하고, 두 기저 사이의 차이를 $C^{1,\alpha}$ 조건에 따라 $O(r^{1+\alpha})$ 로 제어한다. 이를 통해 거리 비교 식 \