컨볼루션 코드의 매클윈리스 항등식 일반화

본 연구는 컨볼루션 코드(convolutional code, CC)의 가중치 구조와 그 듀얼 코드 사이에 매클윈리스(MacWilliams) 항등식을 일반적인 형태로 확립한다는 목표를 갖는다. 이를 위해 저자는 먼저 컨볼루션 코드의 기본 행렬 G와 최소 인코더 개념을 소개하고, 포니 인덱스(Fornæ indices)와 차수(δ)를 통해 코드의 구조적 특성을 정의한다. 최소 인코더 G는 비파괴적이며 지연이 없고, 그 행렬식이 단위 행렬이 되는 역행렬 ˜G가 존재한다는 점에서 중요한 역할을 한다. 다음으로, 컨트롤러 정준형(controller canonical form, CCF)이라는 상태공간 표현을 도입한다. CCF는 행렬 네 쌍 (A, B, C, E) 로 구성되며, A와 B는 포니 인덱스에 따라 블록 대각 형태를, C와 E는 인코더의 계수 행렬을 담고 있다. 이 모델을 통해 입력 메시지 u(t)와 상태 x(t) 사이의 선형 관계 x_{t+1}=x_tA+u_tB, 출력 v_t=x_tC+u_tE 를 식 (2.5) 로 명시한다. 이렇게 하면 컨볼루션 코드를 시간에 따라 진행되는 선형 시스템으로 해석할 수 있다. 핵심 객체인 가중치 인접 행렬(weight adjacency matrix, WAM) Λ는 상태쌍 (X, Y) 에 대해 가능한 입력 u가 존재할 때 발생하는 출력 v의 가중치 다항식 we({v}) 를 원소로 갖는다. 정의 3.1 에서 Λ_{X,Y}=we({X C+u E | u∈F^k, Y=X A+u B}) 로 정의되며, 이는 각 전이마다 출력 가중치 분포를 정확히 기록한다. Λ는 코드의 전체 거리 특성(경로 가중치, 행 거리, 열 거리 등)을 포함하고 있어, 블록 코드의 단순 가중치 다항식보다 풍부한 정보를 제공한다. 다만 Λ는 선택된 인코더에 의존하므로, GL₍δ₎(F) 의 퍼뮤테이션 행렬 P(P) 로 동등하게 변환될 때 Λ' = P(P) Λ P(P)^{-1} 가 된다(식 3.6). 따라서 Λ의 동치 클래스