구면 위 평균 거리 최소화와 반평면 학습 최적화

본 논문은 구면 Sⁿ⁻¹(단위 구) 위에 정의된 평균 지오데식 거리 함수의 최소화 문제를 연구하고, 이를 반평면(half‑space) 학습 문제에 적용한다. 1. **문제 설정 및 기본 정의** - 구면 Sⁿ⁻¹에 대해 정규화된 균등 측도 σ와 지오데식 거리 ρ(w,y) = arccos⟨w,y⟩를 사용한다. - 원뿔 K⊂ℝⁿ이 ‘적절(proper)’하고 내부가 비어 있지 않으며, K∩Sⁿ⁻¹은 구면 위의 ‘지오데식 볼록 집합’이다. - 평균 거리 함수 ψ_K(w)=∫_{K∩Sⁿ⁻¹} ρ(w,y) dσ(y) (또는 일반화된 ψ_K(w)=∫_{K∩Sⁿ⁻¹} g(ρ(w,y)) dσ(y) 형태) 를 정의한다. 2. **보조 정리와 기하학적 도구** - Lemma 2는 w∉K이면 K와 w를 구분하는 초평면을 정의하는 벡터 z가 존재함을 Hahn‑Banach 정리로 증명한다. 이는 K와 그 대극점 ĤK(= {x:⟨x,v⟩≥0 ∀v∈K}) 사이의 관계를 명확히 한다. - 또한 w∉ĤK∪(−ĤK)인 경우, 작은 ε>0에 대해 −ε0인 단위 벡터 z를 구성한다. 이는 이후 반사 연산자 V와 W를 정의하는 기반이 된다. 3. **주요 정리(Theorem 3)와 증명 개요** - (i) ψ는 연속이고 구면이 콤팩트하므로 전역 최소점이 존재한다. - (ii) g가 증가하면 ψ의 지역 최소점은 반드시 ĤK∪(−ĤK) 안에 존재한다. 이를 보이기 위해 w∉ĤK∪(−ĤK)일 때, 위에서 만든 z를 이용해 구면을 두 개의 반구 L,R으로 나누고, 반사 연산자 V를 정의한다. V는 L과 R을 교환하면서 거리와 지표 함수를 보존한다. ψ(w)−ψ(Vw)는 양의 적분으로 표현되며, 이는 w가 지역 최소점이 될 수 없음을 의미한다. - (iii) g가