포아송 평균 추정을 위한 간단한 표본 크기 공식

본 논문은 포아송 확률변수 X의 평균 λ을 추정하기 위한 표본 크기 n에 관한 명시적 공식(식 (1))을 제시한다. 연구 동기는 평균 추정 시 절대 오차 εₐ와 상대 오차 εᵣ를 동시에 만족하도록 하는 것이 실무에서 흔히 요구되지만, 기존 방법은 정규 근사에 기반한 보수적인 추정에 머물러 있다는 점이다. 이를 해결하고자 저자는 체르노프 경계를 이용해 포아송 변수의 꼬리 확률을 정확히 제한하고, 이를 바탕으로 절대·상대 오차에 대한 확률적 보장을 도출한다. 먼저 Lemma 1에서 포아송 변수 K∼Poisson(θ) 에 대해 \(Pr\{K≥r\} ≤ e^{-θ}(θe/r)^r\) (r>θ) 와 \(Pr\{K≤r\} ≤ e^{-θ}(θe/r)^r\) (0 g(-ε,λ) 를 보이며, 절대 오차와 상대 오차를 동시에 고려할 때 전체 오류가 더 큰 쪽이 지배함을 확인한다. 다음으로 상대 오차를 다루기 위해 Lemma 5‑6에서 ε를 λ에 비례시킨 형태(ελ) 로 변형하고, \(\Pr\{\bar λ ≤ (1-ε_r)λ\} ≤ \exp(n g(-ε_r λ, λ))\) 와 \(\Pr\{\bar λ ≥ (1+ε_r)λ\} ≤ \exp(n g(ε_r λ, λ))\) 를 얻는다. 이때 g(-ε_r λ, λ) 와 g(ε_r λ, λ) 는 λ에 대해 감소한다는 특성을 갖는다. Theorem 1은 위의 보조 정리들을 종합해, 전체 오류 \(\Pr\{|\bar λ-λ| ≥ ε_a \text{ or } |\bar λ-λ| ≥ ε_r λ\} < δ\) 가 되도록 하는 충분조건을 제시한다. 구체적으로 \