AT‑free·원형호와 그래프의 입방 차원 최소화

본 논문은 그래프의 입방 차원(cubicity)을 효율적으로 구하고, 특정 그래프 클래스에 대해 차원 상한을 제시한다. 입방 차원은 각 정점을 k‑차원 단위 구(k‑cube)와 대응시켜 두 정점이 인접이면 해당 구가 교차하도록 하는 최소 k 를 의미한다. 기존에는 일반 그래프에 대해 cubicity ≤ 2n/3 이라는 존재적 상한만 알려져 있었으며, 실제 계산은 NP‑hard 문제였다. 저자들은 먼저 대역폭(bandwidth)이라는 개념을 도입한다. 대역폭 bw(G) 는 정점들을 일렬로 배열했을 때, 인접 정점 사이의 위치 차이의 최댓값이다. 대역폭 최소화는 역시 NP‑hard이지만, 여러 그래프 클래스에 대해 Δ (최대 차수)에 비례하는 근사 해가 존재한다는 사실을 활용한다. 핵심 정리(Theorem 2)는 “임의의 그래프 G 에 대해 대역폭 b 가 주어지면 cubicity(G) ≤ b+1”이다. 이를 증명하기 위해 대역폭 순서 A = (u₁,…,uₙ) 를 사용한다. 저자들은 b+1 개의 인디퍼런스 그래프 I₀,…,I_b 를 구성한다. I₀은 모든 정점 u_j 에 구간