버퍼 포화 임계점에서의 손실 변동과 장기 상관성

본 논문은 인터넷과 같은 패킷 스위칭 네트워크에서 단일 라우터 버퍼가 포화될 때 발생하는 데이터 손실 현상을 이론적으로 분석한다. 두 가지 접근법, 즉 이산형 랜덤워크 모델과 연속형 확률 과정 모델을 제시하고, 각각에서 손실률의 평균값, 분산, 그리고 시간 상관 구조를 정밀하게 계산한다. 이산형 모델에서는 버퍼 길이 ℓₙ을 이산 시간 라그랑지 방정식 ℓₙ₊₁=ℓₙ+ξₙ 로 기술한다. 여기서 ξₙ은 도착 확률 p에 따라 +1(패킷 도착) 혹은 –1(서비스)로 전이하는 텔레그래프 노이즈이다. 버퍼가 가득 차면(L) 추가 도착 패킷은 즉시 폐기되고, 빈 버퍼(ℓ=0)에서는 도착이 없을 경우 서비스가 멈춘다. 이러한 경계 조건은 손실률 L_N을 정의하는 핵심이며, L_N = Σ_{n=n₀+1}^{n₀+N} δ_{ℓₙ,L}δ_{ℓₙ₊₁,L} 로 표현된다. 전이 행렬을 이용해 정상분포 P_st(ℓ)를 구하고, 평균 손실률 ⟨L_N⟩와 분산을 도출한다. 평균은 식(7)에서 보듯 p>½이면 손실률이 O(1) 수준으로 급격히 증가하고, p=½에서는 1/(L+1) 정도의 작은 값, p<½에서는 q^L (q=p/(1–p))에 의해 지수적으로 감소한다. 즉, 도착률이 서비스율의 절반을 초과하면 버퍼 포화가 거의 확정되는 임계 현상이 나타난다. 분산을 압축성 χ_N = Var(L_N)/⟨L_N⟩ 로 정의하고, 정확히 해를 구한다. χ_N은 임계점 p=½에서 급격히 상승한다. 장기 한계(N≫N₀≈