예산 형식화의 새로운 접근

본 논문은 현대 조직에서 예산 설계와 회계가 복잡한 IT 시스템에 의존하면서도, 이를 뒷받침할 형식적 이론이 부족하다는 문제 의식을 출발점으로 한다. 저자들은 예산을 “합성 가능한 수학적 객체”로 정의하고, 이를 다루기 위한 대수적 프레임워크를 제시한다. 핵심 아이디어는 유리수 체계를 전체화된 필드, 즉 “meadow”로 모델링하는 것이다. 전통적인 유리수 체계에서는 0으로 나누는 연산이 정의되지 않아 부분함수 문제가 발생하지만, 전체화된 체계에서는 0으로 나누면 미리 정의된 값(예: 0)으로 결과를 반환한다. 이 접근법은 오류 전파를 방지하고, 형식 검증을 위한 타입‑체크를 단순화한다. 예산 자체는 “튜플리”(tuplix)라는 데이터 구조로 표현된다. 튜플리는 속성‑값 쌍의 집합이며, 속성은 거래 채널, 값은 금액을 의미한다. 양수 값은 지급, 음수 값은 수령을 나타낸다. 예산은 이러한 튜플리 항목들의 결합으로 구성되며, 결합 연산 ⊕는 교환법칙과 결합법칙을 만족한다. 두 특수 원소 ε(빈 예산)와 δ(무효 예산)를 도입해 연산의 항등원과 소멸원을 정의한다. 동일한 속성을 가진 항목들은 금액을 합산해 하나의 항목으로 축소될 수 있어, 예산 내부에서 자동 정산 메커니즘을 구현한다. 조건 검증은 “제로 테스트” γ(p) 형태로 구현된다. p가 0이면 테스트는 사라지고, 0이 아니면 전체 예산을 무효(δ)로 만든다. 이를 통해 등식(p = q)과 부등식(p ≤ q) 같은 제약을 간단히 표현할 수 있다. 특히, γ(p) ⊕ γ(q) = γ(p/p + q/q)와 같은 합성 규칙을 이용하면 복합 제약을 단일 테스트로 축소할 수 있다. 캡슐화 연산 ∂_H는 지정된 속성 집합 H에 대해 해당 항목들의 총합이 0이면 항목들을 제거하고, 0이 아니면 전체 예산을 δ로 만든다. 이는 회계상의 “상계” 과정을 형식화한 것으로, 여러 채널 간의 지급·수령을 자동으로 정리한다. 캡슐화는 집합 합성 ∂_{H∪H'} = ∂_H ∘ ∂_{H'} 로 분해 가능해 복잡한 다중 채널 정산을 단계적으로 수행할 수 있다. 논문은 이러한 이론을 실제 사례에 적용한다. 대학의 석사 프로그램 A, B, C에 대한 연간 예산을 정의하고, 각 프로그램이 공유하는 인프라 비용을 채널 b를 통해 상계한다. 예산 P = a(‑30) ⊕ b(10) ⊕ b(20)와 Q = b(‑30) ⊕ c(30)를 결합한 뒤 ∂_{b}를 적용하면 b 채널의 지급·수령이 소멸하고 최종 예산은 a(‑30) ⊕ c(30)만 남는다. 이 과정을 통해 모델이 비용 배분, 제약 검증, 그리고 자동 정산을 어떻게 지원하는지를 보여준다. 또한 논문은 예산 설계와 소프트웨어 개발 사이의 유사성을 강조한다. 예산은 프로그램 코드와 같이 정적 검증이 어려우며, 테스트와 시뮬레이션이 필요하지만, 현재 조직에서는 이러한 도구가 부족하다고 지적한다. 제시된 대수적 모델은 형식적 검증과 시뮬레이션을 위한 기반을 제공함으로써, 예산 설계 과정에 체계적이고 자동화된 지원을 가능하게 한다. 결론적으로, 이 연구는 예산을 형식 언어와 대수 구조로 추상화함으로써 기존의 경험적·문서 기반 예산 관리에서 발생하는 모호성, 오류 전파, 검증 부재 문제를 이론적으로 해결하고자 한다. 전체화된 유리수 체계와 튜플리 연산은 자동화된 도구 구현을 위한 견고한 수학적 기반을 제공한다는 점에서 학술적·실무적 의의가 크다.