평면 그래프 선택 가능성의 복잡성

논문은 그래프 이론에서 리스트 색칠(list coloring)이라는 개념을 중심으로, 주어진 그래프가 특정 크기의 리스트에 대해 항상 올바른 색칠을 할 수 있는지를 판단하는 문제의 계산 복잡도를 탐구한다. 먼저, k‑choosable이라는 정의와 선택 수(chromatic number) ch(G)의 개념을 소개하고, 2‑choosable 그래프에 대한 기존의 완전한 특성화 결과(Theorem 1.1)를 인용한다. 이후, 평면 그래프와 평면 무삼각 그래프에 대한 알려진 선택 수 결과들을 정리한다. 특히, 모든 평면 그래프는 5‑choosable이며(Thm 1.2), 4‑choosable가 아닌 평면 그래프가 존재한다는 사실(Thm 1.3)과, 모든 이분 평면 그래프는 3‑choosable(Thm 1.4), 3‑choosable가 아닌 평면 무삼각 그래프가 존재한다는 사실(Thm 1.5) 등을 언급한다. 본 연구의 핵심 기여는 두 가지 새로운 반례 그래프를 제시함으로써 기존의 반례보다 정점 수를 크게 줄인 것이다. 첫 번째 반례는 75개의 정점을 가진 평면 그래프 H′이며, 이는 12개의 기본 블록 W₁을 서로 연결하고 특정 정점들을 동일시함으로써 구성된다. 각 블록에 대해 색상 집합 S(u)=S(v)={7,8,9,10}을 할당하고, 12개의 서로 다른 색쌍 (a,b)∈A를 블록마다 배정한다. 이때 블록 내부의 정점 w는 색 1 또는 2만 사용할 수 있지만, 어느 경우에도 전체 색칠을 완성할 수 없으므로 H′는 4‑choosable가 아니다. 두 번째 반례는 164개의 정점을 가진 평면 무삼각 그래프 H′이며, 9개의 블록 W₂를 이용해 유사하게 구성한다. 여기서는 S(u)={10,11,12}, S(v)={13,14,15}를 할당하고, 9개의 색쌍을 순서대로 배치한다. 각 블록의 특정 정점 y₂와 다음 블록의 x₂를 동일시함으로써 색상 충돌을 강제하고, 결국 전체 그래프가 3‑choosable가 아님을 보인다. 복잡도 측면에서는 제한된 평면 만족성(RPS) 문제를 Π₂‑complete임을 증명하고, 이를 기존의 bipartite planar (2,3)-choosability 문제와 연결한다. RPS 인스턴스를 그래프 G와 함수 f:V→{2,3} 로 변환하는 과정에서 ‘propagator’, ‘half‑propagator’, ‘multi‑output propagator’, ‘initial graph’ 등 특수한 서브그래프를 설계한다. 각 서브그래프는 입력 노드와 출력 노드 사이에 색상 전파 메커니즘을 구현하며, 2‑coloring과 리스트 할당 사이의 논리적 대응을 보장한다. 특히, half‑propagator는 입력 색을 고정하면 출력 색이 반드시 반대가 되도록 설계되어, 양화 논리식의 ∀와 ∃ 구성을 정확히 모사한다. 이러한 구성으로 RPS가 참이면 그래프가 f‑choosable이고, 거짓이면 choosability가 깨지는 구조를 만든다. 따라서 BPG(2,3)-CH 문제는 Π₂‑complete임을 재확인하고, 이를 기반으로 평면 그래프 4‑choosability와 평면 무삼각 그래프 3‑choosability 판별이 모두 Π₂‑complete임을 증명한다. 마지막으로 두 포레스트의 합집합이 3‑choosable인지 묻는 문제(U2F 3‑CH)도 동일한 기술로 Π₂‑complete임을 도출한다. 전체 논문은 다음과 같이 구성된다. 제2절에서는 75·164 정점 반례 그래프의 구체적 구성과 비choosability 증명을 제시한다. 제3절에서는 Π₂‑complete성을 보이기 위한 RPS와 OPS 문제 정의, 그리고 RPS가 Π₂‑complete임을 보이는 변환 과정을 상세히 설명한다. 제4절에서는 BPG(2,3)-CH, PG 4‑CH, PTFG 3‑CH, U2F 3‑CH 네 가지 결정 문제에 대해 Π₂‑complete성을 차례로 증명한다. 각 증명은 앞서 정의한 propagator 구조와 색상 집합 할당을 이용해 논리식의 양화자를 그래프 구조에 매핑하는 방식으로 진행된다. 결론에서는 평면 그래프 choosability 문제의 복잡도 지형을 완성하고, 향후 연구 방향으로 더 작은 반례 탐색 및 다른 그래프 클래스(예: 고차원 평면 그래프, 임계 girth 그래프)에서의 리스트 색칠 복잡도 분석을 제시한다.