주어진 세대의 수치 반군집 개수에 대한 새로운 상하한

본 논문은 수치 반군집(Numerical Semigroup)의 세대(g)별 개수 n_g에 대한 새로운 상하한을 제시한다. 수치 반군집은 0을 포함하고, 덧셈에 대해 닫혀 있으며, 자연수 전체에서 유한개의 원소만을 제외하는 집합으로 정의된다. 반군집의 갭(gap) 집합은 그 보완집합이며, 갭의 개수를 세대라 부른다. 가장 큰 갭은 프뢰베니우스 수(f)라 하며, 대칭 반군집은 f가 2g−1인 경우를 말한다. 기존 연구에서는 모든 세대 g에 대해 n_g ≤ C_g (카탈란 수)라는 상한이 알려져 있었으며, n_g가 피보나치 수열과 비슷한 성장률을 보인다는 추측이 제기되었다. 이 논문은 이러한 배경을 바탕으로, 다중집합 A_g와 B_g를 정의하고, 각각의 크기를 정확히 계산함으로써 n_g에 대한 새로운 하한과 상한을 도출한다. A_g는 A_2={1,3}에서 시작해 재귀적으로 정의된다. 구체적으로, g>2일 때 A_g는 {g+1}와 이전 집합 A_{g−1}의 각 원소 m에 대해 {0,1,…,m−1}를 포함하되, 특정 원소 g−2를 제외한 집합이다. 레마 1은 A_g의 원소 구조를 피보나치 수와 연결시키며, |A_g|=2F_g임을 증명한다. 여기서 F_g는 g번째 피보나치 수이다. B_g는 B_2={1,3}에서 시작해 유사하게 정의된다. g>2일 때 B_g는 {0,g+1}와 이전 집합 B_{g−1}의 각 원소 m에 대해 {1,2,…,m}를 포함하고, g와 g−2를 제외한다. 레마 2는 B_g의 원소 개수가 |B_g|=1+3·2^{g−3}임을 보인다. 다음으로 논문은 반군집의 최소 생성원(minimal generators)과 프뢰베니우스 수 사이의 관계를 이용한다. 임의의 반군집 Λ가 주어지면, Λ∪{f}는 세대가 하나 감소한 새로운 반군집이 된다. 반대로, Λ에서 프뢰베니우스 수보다 큰 최소 생성원 하나를 제거하면 여전히 반군집이 된다. 이 과정을 트리 구조로 시각화하면, 루트가 전체 자연수 집합 N_0이고, 깊이 g에 해당하는 노드가 세대 g의 모든 반군집이 된다. 레마 3은 비정규(ordinary) 반군집 Λ와 그 변형 Λ\{λ_{ij}}에서 최소 생성원의 개수가 어떻게 변하는지를 정량화한다. 특히, 제거된 원소 λ_{ij}보다 큰 최소 생성원은 최소 λ_{ij}+λ_1 형태만이 새롭게 등장할 수 있음을 보인다. 레마 4는 비정규 반군집 Λ={0,g+1,g+2,…}의 최소 생성원 집합을 명시하고, 특정 원소를 제거했을 때 남는 최소 생성원의 수를 구한다. 이러한 레마들을 종합하면, A_g와 B_g를 각각 노드 수와 자식 수를 갖는 트리 A와 B로 생각할 수 있다. 실제 반군집 트리는 레마 3·4에 의해 트리 A의 부분트리이며, 동시에 트리 B에 포함되는 부분트리이다. 따라서 모든 g>2에 대해 2F_g ≤ n_g ≤ 1+3·2^{g−3} 가 성립한다. 표 1에서는 g≤30까지의 실제 n_g 값과 두 경계, 그리고 기존 카탈란 상한 C_g를 비교한다. 결과는 제시된 하한 2F_g가 실제 값에 매우 근접하고, 상한 1+3·2^{g−3}도 카탈란 상한보다 훨씬 타이트함을 보여준다. 특히, g가 커질수록 n_g는 피보나치 수열과 거의 동일한 비율로 성장함을 확인할 수 있다. 논문의 의의는 두 가지이다. 첫째, 피보나치 수와 2의 거듭제곱이라는 간단한 수학적 구조를 통해 수치 반군집의 개수에 대한 강력한 양·음의 경계를 제공했다는 점이다. 둘째, 다중집합을 이용한 재귀적 구성과 최소 생성원 제거에 기반한 트리 모델은 다른 조합론적 열거 문제에도 적용 가능성을 열어준다. 향후 연구에서는 이러한 방법을 이용해 대칭 반군집, 특정 프뢰베니우스 수를 갖는 반군집, 혹은 고차원 아벨 군의 부분구조 열거 등으로 확장할 여지가 있다.